Solution de référence
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Méthode de calcul
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Compte tenu des conditions aux limites, les déplacements peuvent être obtenus à partir de la résolution analytique de l'équation de conservation de la quantité de mouvement.

En négligeant la pesanteur, l'équation s'écrit (en contraintes totales):

:math:`\text{Div}(\sigma )=0`

Dans le cas d'une modélisation couplée, le tenseur des contraintes totales s'écrit:

:math:`\sigma =\sigma '-\mathit{bp}1`

:math:`\sigma '` est le tenseur des contraintes dans le squelette, :math:`b` le coefficient de Biot et :math:`p` et la pression de pore dans le massif. Le module de Poisson :math:`\nu` étant nul , et étant dans le cas élastique, on a :math:`\sigma '=Eϵ` .

:math:`\nu` étant nul, les conditions aux limites et le chargement rendent le problème unidimensionnel selon :math:`y` . Seul :math:`{ϵ}_{yy}` est non nul et donc dans chaque bloc:

:math:`\sigma =E{ϵ}_{yy}{e}_{y}\otimes {e}_{y}-{\mathit{bp}}_{i}1`

avec :math:`{p}_{i}` la pression de pore imposée dans le bloc courant.

Donc dans chaque bloc, le tenseur des contraintes totales s'écrit sous la forme:

:math:`\sigma ={\sigma}_{xx}{e}_{x}\otimes {e}_{x}+{\sigma}_{yy}{e}_{y}\otimes {e}_{y}`

Or dans chaque bloc, les conditions aux limites au niveau des lèvres des interfaces qui délimitent les blocs s'écrivent :math:`\sigma .n=-Pn` , donc:

:math:`\begin{array}{c}({\sigma}_{xx}{e}_{x}\otimes {e}_{x}+{\sigma}_{yy}{e}_{y}\otimes {e}_{y}).n=-Pn\\ {\sigma}_{xx}({e}_{x}.n){e}_{x}+{\sigma}_{yy}({e}_{y}.n){e}_{y}=-Pn\\ ({\sigma}_{xx}({e}_{x}.n){e}_{x}+{\sigma}_{yy}({e}_{y}.n){e}_{y}).{e}_{y}=-P({e}_{y}.n)\\ {\sigma}_{yy}({e}_{y}.n)=-P({e}_{y}.n)\\ {\sigma}_{yy}=-P\text{car}{e}_{y}.n\ne 0\end{array}`

Finalement dans chaque bloc

:math:`{\sigma}_{yy}=E{ϵ}_{yy}-{\mathit{bp}}_{i}=-P` soit :math:`{ϵ}_{yy}=\frac{-P+{\mathit{bp}}_{i}}{E}`

avec :math:`{p}_{i}` la pression de pore imposée dans le bloc courant.


Grandeurs et résultats de référence
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En particulier on s'intéresse aux déplacements selon la direction :math:`y` dans chaque bloc:


*   dans le bloc inférieur, d'après les conditions aux limites, :math:`{u}_{y}(y)=\frac{-P+{\mathit{bp}}_{1}}{E}\ast (\frac{L}{2}+y)`


*   dans le bloc inférieur, les déplacements sont symétriques par rapport à l'axe :math:`(\mathit{Ox})` . En effet, ce bloc est symétrique par rapport à l'axe :math:`(\mathit{Ox})` et les conditions aux limites et les chargements qui lui sont appliquées suivent également cette symétrie (pression mécanique répartie sur les lèvres de fissure et encastrement du point :math:`A` ). Les déplacements verticaux s'écrivent donc: :math:`{u}_{y}(y)=\frac{-P+{\mathit{bp}}_{2}}{E}\ast y`


*   dans le bloc supérieur, d'après les conditions aux limites, :math:`{u}_{y}(y)=\frac{-P+{\mathit{bp}}_{3}}{E}\ast (\frac{-L}{2}+y)`


Incertitude sur la solution
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Aucune, il s'agit d'une solution analytique.