1. Problème de référence#
1.1. Géométrie du problème 2D (modélisation A)#
Il s’agit d’un bloc carré de côté \(L=10m\) . Ce bloc présente deux discontinuité discontinuités de type interface (interface non maillée qui est introduite dans le modèle par l’intermédiaire des level-sets grâce à l’opérateur DEFI_FISS_XFEM). La première est repérée par la level-set normale d’équation \({\mathit{lsn}}_{1}=Y-\mathrm{0.5X}-0.2\) et traverse entièrement la bloc dans la direction horizontale. La deuxième interface est repérée par la level-set normale d’équation \({\mathit{lsn}}_{2}=Y+\mathrm{0.5X}+0.2\) . Elle se branche sur la lèvre inférieure de la première interface. La deuxième interface n’existe donc que dans la partie du bloc telle que \({\mathit{lsn}}_{1}<0\) . Le point de jonction entre les deux interfaces vérifie \({\mathit{lsn}}_{1}={\mathit{lsn}}_{2}=0\) et a pour coordonnées \((-0.4,0)\) . Le domaine est ainsi découpé en 3 blocs, un bloc inférieur, un bloc supérieur et un bloc intermédiaire situé entre les deux interfaces. Les points \(A(5,0)\) , \(B(-3,-1.3)\) , \(C(3,-1.7)\) et \(D(3,1.7)\) seront utilisés pour l’application des conditions aux limites et l’évaluation des grandeurs testées.
On représente sur la Figure la géométrie du bloc.
Figure 1.1-a : Géométrie du problème 2D
1.2. Géométrie du problème 3D (modélisation B)#
Il s’agit d’un bloc de hauteur \(\mathit{LZ}=10m\) , de longueur \(\mathit{LX}=10m\) et de largeur \(\mathit{LY}=2m\) . Ce bloc présente deux discontinuité discontinuités de type interface (interface non maillée qui est introduite dans le modèle par l’intermédiaire des level-sets grâce à l’opérateur DEFI_FISS_XFEM). La première est repérée par la level-set normale d’équation \({\mathit{lsn}}_{1}=Z-\mathrm{0.5X}-0.2\) et traverse entièrement la bloc dans la direction horizontale. La deuxième interface est repérée par la level-set normale d’équation \({\mathit{lsn}}_{2}=Z+\mathrm{0.5X}+0.2\) . Elle se branche sur la lèvre inférieure de la première interface. La deuxième interface n’existe donc que dans la partie du bloc telle que \({\mathit{lsn}}_{1}<0\) . La courbe de jonction entre les deux interfaces vérifie \({\mathit{lsn}}_{1}={\mathit{lsn}}_{2}=0\) et a pour équation \(\lbrace \begin{array}{c}X=-0.4\\ Z=0\end{array}\) . Le domaine est ainsi découpé en 3 blocs, un bloc inférieur, un bloc supérieur et un bloc intermédiaire situé entre les deux interfaces. Les points \({A}_{1}(5,-1,0)\) , \({A}_{2}(5,1,0)\) \(B(-3,-1,-1,3)\) , \(C(3,-1,-1.7)\) et \(D(3,-1,1.7)\) seront utilisés pour l’application des conditions aux limites et l’évaluation des grandeurs testées.
On représente sur la Figure la géométrie du bloc.
Figure 1.2-a : Géométrie du problème 3D
1.3. Propriétés des matériaux#
Les paramètres donnés dans le Tableau , correspondent aux paramètres utilisés pour la modélisation dans le cas couplé hydro-mécanique. La loi de couplage utilisée est “LIQU_SATU”.
Liquide (eau) |
Viscosité \({\mu}_{w}(\mathit{en}\mathit{Pa.s})\) Module de compressibilité \(\frac{1}{{K}_{w}}(\mathit{en}{\mathit{Pa}}^{\text{-1}})\) Densité du liquide \({\rho}_{w}(\mathit{en}\mathit{kg}/{m}^{3})\) |
\({10}^{\text{-3}}\) \({5.10}^{\text{-10}}\) \(1\) |
Paramètres élastiques |
Module de Young \(E(\mathit{en}\mathit{MPa})\) Coefficient de Poisson \(\nu\) Coefficient de dilatation thermique \(\alpha (\mathit{en}{K}^{\text{-1}})\) |
\(5800\) \(0\) \(0\) |
Paramètres de couplage |
Coefficient de Biot \(b\) Masse volumique homogénéisée initiale \({r}_{0}(\mathit{en}\mathit{kg}/{m}^{3})\) Perméabilité intrinsèque \({K}^{int}(\mathit{en}{m}^{2}/s)\) |
\(1\) \(2,5\) \({1,01937}^{\text{-19}}\) |
Tableau 1.3-1 : Propriétés du matériau
D’autre part les forces liées à la pesanteur (dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement) sont négligées. La pression de pore de référence est prise nulle \({p}_{1}^{\text{ref}}=0\mathit{MPa}\) et la porosité du matériau est \(\varphi =0,15\) .
On prend \(\nu =0\) afin d’avoir un problème unidimensionnel.
1.4. Conditions aux limites et chargements#
Cas 2D
Les conditions aux limites que l’on peut appliquer sur le domaine sont de deux types:
conditions de type Dirichlet,
conditions de type Neuman.
Les conditions de Dirichlet sont:
les déplacements suivants \(x\) sont bloqués dans tout le domaine. Le problème est ainsi unidirectionnel suivant \(y\) ,
les déplacements suivant \(y\) sont bloqués sur la face inférieure et la face supérieure du bloc,
afin de bloquer les déplacements de corps rigide du bloc situé entre les deux interfaces, on encastre le point \(A\) .
Les conditions de Neumansont:
on applique une pression mécanique répartie constante \(P=10\mathit{MPa}\) sur chacune des lèvres des interfaces,
la pression de pore est fixée à \({p}_{1}=0.2\mathit{MPa}\) dans le bloc inférieur,
la pression de pore est fixée à \({p}_{2}=0.4\mathit{MPa}\) dans le bloc intermédiaire situé entre les deux interfaces,
la pression de pore est fixée à \({p}_{3}=0.6\mathit{MPa}\) dans le bloc supérieur.
Cas 3D
Les conditions aux limites que l’on peut appliquer sur le domaine sont de deux types:
conditions de type Dirichlet,
conditions de type Neuman.
Les conditions de Dirichlet sont:
les déplacements suivants \(x\) et les déplacements suivant \(y\) sont bloqués dans tout le domaine. Le problème est ainsi unidirectionnel suivant \(z\) ,
les déplacements suivant \(z\) sont bloqués sur la face inférieure et la face supérieure du bloc,
afin de bloquer les déplacements de corps rigide du bloc situé entre les deux interfaces, on encastre les points \({A}_{1}\) et \({A}_{2}\) .
Les conditions de Neuman sont:
on applique une pression mécanique répartie constante \(P=10\mathit{MPa}\) sur chacune des lèvres des interfaces,
la pression de pore est fixée à \({p}_{1}=0.2\mathit{MPa}\) dans le bloc inférieur,
la pression de pore est fixée à \({p}_{2}=0.4\mathit{MPa}\) dans le bloc intermédiaire situé entre les deux interfaces,
la pression de pore est fixée à \({p}_{3}=0.6\mathit{MPa}\) dans le bloc supérieur.