2. Solution de référence#
On exhibe sans difficulté une solution de référence portant sur la déformation volumique \(\varepsilon_v\) dans les trois phases de chargement.
Dans la première phase (saturation), elle se présente comme une fonction non-linéaire de la pression capillaire \(p_c\) :
(2.1)#\[\varepsilon_v = \varepsilon_{v,1} = \underbrace{-\tilde\kappa_s\ln\left(\frac{p_c+K_s\tilde\kappa_s}{p_c(0)+K_s\tilde\kappa_s}\right)}_{\varepsilon_v^e}, \quad \text{avec} \quad \tilde x = \frac{x}{1+e_0}\]
où \(p_c(0)=100\) kPa est la pression capillaire initiale.
Dans la seconde phase (compression isotrope), elle est une fonction non-linéaire de la pression nette \(p''=-\sigma_m''=-(\sigma_m+p_g)\) (\(p_g\) étant la pression de gaz) :
(2.2)#\[\varepsilon_v = \varepsilon_{v,2} = \varepsilon_{v,1}
\underbrace{-\tilde\kappa\ln\left(1+\frac{p''}{K\tilde\kappa}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^e}\underbrace{-(\tilde\lambda_0-\tilde\kappa)\ln\left(1+\frac{\langle p''-p^0_{con}\rangle}{p_{con}^0}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^p}, \quad \text{avec} \quad \langle x \rangle = \frac{x+|x|}{2}\]
Dans la troisième phase (désaturation), elle est de nouveau une fonction non-linéaire de la pression capillaire \(p_c\) :
(2.3)#\[\varepsilon_v = \varepsilon_{v,3} = \varepsilon_{v,2} \underbrace{-\tilde\kappa_s\ln\left(1+\frac{p_c}{K_s\tilde\kappa_s}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^e} \underbrace{-(\tilde\lambda_s-\tilde\kappa_s)\ln\left(1+\frac{\langle p_c-s_0(\varepsilon_{v,2}^p)\rangle}{s_0(\varepsilon_{v,2}^p)}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^p}, \quad \text{avec}\quad s_0(\varepsilon_{v,2}^p) = s_0^0\exp\left(-\frac{\varepsilon_{v,2}^p}{\tilde\lambda_s-\tilde\kappa_s}\right)\]