Solution de référence
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On exhibe sans difficulté une solution de référence portant sur la déformation volumique :math:`\varepsilon_v` dans les trois phases de chargement.

Dans la première phase (saturation), elle se présente comme une fonction non-linéaire de la pression capillaire :math:`p_c` :

.. math::
    \varepsilon_v = \varepsilon_{v,1} = \underbrace{-\tilde\kappa_s\ln\left(\frac{p_c+K_s\tilde\kappa_s}{p_c(0)+K_s\tilde\kappa_s}\right)}_{\varepsilon_v^e}, \quad \text{avec} \quad \tilde x  = \frac{x}{1+e_0}
    :label: deformation_volumique_saturation

où :math:`p_c(0)=100` kPa est la pression capillaire initiale.

Dans la seconde phase (compression isotrope), elle est une fonction non-linéaire de la pression nette :math:`p''=-\sigma_m''=-(\sigma_m+p_g)` (:math:`p_g` étant la pression de gaz) :

.. math::
    \varepsilon_v = \varepsilon_{v,2} = \varepsilon_{v,1}
     \underbrace{-\tilde\kappa\ln\left(1+\frac{p''}{K\tilde\kappa}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^e}\underbrace{-(\tilde\lambda_0-\tilde\kappa)\ln\left(1+\frac{\langle p''-p^0_{con}\rangle}{p_{con}^0}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^p}, \quad \text{avec} \quad \langle x  \rangle = \frac{x+|x|}{2}
    :label: deformation_volumique_compression

Dans la troisième phase (désaturation), elle est de nouveau une fonction non-linéaire de la pression capillaire :math:`p_c` :

.. math::
    \varepsilon_v = \varepsilon_{v,3} = \varepsilon_{v,2} \underbrace{-\tilde\kappa_s\ln\left(1+\frac{p_c}{K_s\tilde\kappa_s}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^e} \underbrace{-(\tilde\lambda_s-\tilde\kappa_s)\ln\left(1+\frac{\langle p_c-s_0(\varepsilon_{v,2}^p)\rangle}{s_0(\varepsilon_{v,2}^p)}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^p}, \quad \text{avec}\quad s_0(\varepsilon_{v,2}^p) = s_0^0\exp\left(-\frac{\varepsilon_{v,2}^p}{\tilde\lambda_s-\tilde\kappa_s}\right)
    :label: deformation_volumique_desaturation