2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul#
La solution de référence est unidimensionnelle car elle ne dépend que de la coordonnée verticale.
L’équation de conservation de la masse d’eau \({m}_{l}\) est donnée par l’expression suivante :
avec \({M}_{l}\) le flux d’eau tel que, si on néglige la gravité :
\({M}_{l}={\rho}_{l}{\lambda}_{l}(-\nabla {p}_{l})\) avec \({p}_{l}\) la pression de liquide, \({\rho}_{l}\) sa masse volumique et \({\lambda}_{l}\) sa conductivité hydraulique telle que \({\lambda}_{l}=\frac{{K}_{i}}{\mu}\) . \({K}_{i}\) est la perméabilité intrinsèque et \(\mu\) la viscosité du liquide.
En considérant un solide indéformable, on peut écrire que
\(\frac{d{m}_{l}}{\mathrm{dt}}={\rho}_{l}\frac{\phi }{{K}_{l}}\frac{d{p}_{l}}{\mathrm{dt}}\) avec \(\phi\) la porosité et \({K}_{l}\) la compressibilité de l’eau. On note \(N=\frac{\phi }{{K}_{l}}\) .
L’équation (1) devient alors :
\({\rho}_{l}N\frac{d{p}_{l}}{\mathrm{dt}}+D({\rho}_{l}{\lambda}_{l}(-\nabla {p}_{l}))=0\)
dont la formulation variationnelle est la suivante :
avec \({M}^{\mathrm{ext}}\) le chargement extérieur.
Pour établir la solution on se place dans le cas unidimensionnel et on adopte une discrétisation correspondant à un unique élément de degré 1 puisque en modélisation THM la partie hydraulique est traitée sur des éléments linéaires. On suppose également que les non linéarités sont faibles dans ce cas et que les coefficients \(N\) et \({\rho}_{l}\) sont constants ce qui suppose une variation relativement faibles de la pression.
Soit un élément linéaire :
On écrit alors la pression sur la base des fonctions de formes tel que :
\({p}_{l}(z,t)=\sum_{i=1}^{i=2}{p}^{i}(t){\lambda}_{i}(z)\)
avec
\({\lambda}_{1}(z)=0,5(1+\mathrm{2z})\)
\({\lambda}_{2}(z)=0,5(1-\mathrm{2z})\)
On introduit alors les matrices suivantes :
\(\left[A\right]=\left[{A}_{ij}\right];{A}_{ij}={\int}_{-0,5}^{0,5}{\lambda}_{i}{\lambda}_{j}\mathrm{dz}\)
\(\left[B\right]=\left[{B}_{ij}\right];{B}_{ij}={\int}_{-0,5}^{0,5}\frac{\partial {\lambda}_{i}}{\partial z}\frac{\partial {\lambda}_{j}}{\partial \mathrm{dz}}\mathrm{dz}\)
ce qui conduit à
\(\left[A\right]=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]\) et \(\left[B\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]\)
On note ensuite classiquement :
\(\lbrace {p}_{l}\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{l}^{1}\\ {P}_{l}^{2}\end{array}\right\rbrace\) \(\lbrace {M}^{\mathrm{ext}}\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{{M}^{\mathrm{ext}}}^{1}\\ {{M}^{\mathrm{ext}}}^{2}\end{array}\right\rbrace\)
Sachant qu’on injecte un flux d’eau Q sur la face supérieure, on a donc
\(\lbrace {M}^{\mathrm{ext}}\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}0\\ -Q\end{array}\right\rbrace\)
L’équation (2) devient \(\frac{N}{{\lambda}_{l}}\left[A\right]\lbrace \frac{{\mathrm{dp}}_{l}}{\mathrm{dt}}\rbrace +\left[B\right]\lbrace {p}_{l}\rbrace =\frac{-1}{{\lambda}_{l}\rho }\lbrace {M}^{\mathrm{ext}}\rbrace\)
Considérant que pour des variations de temps courts Dt, l’évolution de p est quasiment linéaire, on peut écrire que
\(\lbrace \frac{{\mathrm{dp}}_{l}}{\mathrm{dt}}\rbrace =\frac{1}{\Delta t}\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{l}^{1}-{p}_{0}^{1}\\ {P}_{l}^{2}-{p}_{0}^{2}\end{array}\right\rbrace\)
et comme on part ici d’un état initial de pression nulle, on aura
\(\lbrace \frac{{\mathrm{dp}}_{l}}{\mathrm{dt}}\rbrace =\frac{1}{\Delta t}\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{l}^{1}\\ {P}_{l}^{2}\end{array}\right\rbrace\)
Finalement on obtient le système de deux équations à deux inconnues :
\({p}_{l}^{1}(\frac{N}{{\lambda}_{l}\Delta t}+6)-{\mathrm{6p}}_{l}^{2}=\frac{-\mathrm{2Q}}{{\lambda}_{l}{\rho}_{l}}\)
\({p}_{l}^{2}(\frac{N}{{\lambda}_{l}\Delta t}+6)-{\mathrm{6p}}_{l}^{1}=\frac{-\mathrm{4Q}}{{\lambda}_{l}{\rho}_{l}}\)
On a alors le résultat suivant:
\(\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{l}^{1}\\ {P}_{l}^{2}\end{array}\right\rbrace ={\left[\begin{array}{cc}\frac{N}{{\lambda}_{l}\Delta t}+6& -6\\ -6& \frac{N}{{\lambda}_{l}\Delta t}+6\end{array}\right]}^{-1}.\left\lbrace \begin{array}{c}\frac{-\mathrm{2Q}}{{\lambda}_{l}{\rho}_{l}}\\ \frac{-\mathrm{4Q}}{{\lambda}_{l}{\rho}_{l}}\end{array}\right\rbrace\)
2.2. Grandeurs et résultats de référence#
On teste la valeur de la pression de pore sur les faces inférieures et supérieures du massif.
2.3. Incertitudes sur la solution#
Aucune incertitude sur la solution. La solution est analytique.
2.4. Références bibliographiques#
Mécanique des milieux poreux . O. Coussy, Editions Technip, 2000.