Solution de référence
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Méthode de calcul
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La solution de référence est unidimensionnelle car elle ne dépend que de la coordonnée verticale.

L'équation de conservation de la masse d'eau :math:`{m}_{l}` est donnée par l'expression suivante :

.. math::
    :label: eq-None

    \frac{d{m}_{l}}{\mathrm{dt}}+D{M}_{l}=0

avec :math:`{M}_{l}` le flux d'eau tel que, si on néglige la gravité :

:math:`{M}_{l}={\rho}_{l}{\lambda}_{l}(-\nabla {p}_{l})` avec :math:`{p}_{l}` la pression de liquide, :math:`{\rho}_{l}` sa masse volumique et :math:`{\lambda}_{l}` sa conductivité hydraulique telle que :math:`{\lambda}_{l}=\frac{{K}_{i}}{\mu}` . :math:`{K}_{i}` est la perméabilité intrinsèque et :math:`\mu`  la viscosité du liquide.

En considérant un solide indéformable, on peut écrire que

:math:`\frac{d{m}_{l}}{\mathrm{dt}}={\rho}_{l}\frac{\phi }{{K}_{l}}\frac{d{p}_{l}}{\mathrm{dt}}` avec :math:`\phi` la porosité et :math:`{K}_{l}` la compressibilité de l'eau. On note :math:`N=\frac{\phi }{{K}_{l}}` .

L'équation (1) devient alors :

:math:`{\rho}_{l}N\frac{d{p}_{l}}{\mathrm{dt}}+D({\rho}_{l}{\lambda}_{l}(-\nabla {p}_{l}))=0`

dont la formulation variationnelle est la suivante :

.. math::
    :label: eq-None

    {\int}_{\Omega}N\frac{d{p}_{l}}{\mathrm{dt}}.\stackrel{ˆ}{{p}_{l}}+{\int}_{\Omega}{\lambda}_{l}\nabla {p}_{l}\nabla \stackrel{ˆ}{{p}_{l}}=-{\int}_{\partial \Omega }\frac{{M}^{\mathrm{ext}}}{{\rho}_{l}}\stackrel{ˆ}{{p}_{l}}

avec :math:`{M}^{\mathrm{ext}}` le chargement extérieur.

Pour établir la solution on se place dans le cas unidimensionnel et on adopte une discrétisation correspondant à un unique élément de degré 1 puisque en modélisation THM la partie hydraulique est traitée sur des éléments linéaires. On suppose également que les non linéarités sont faibles dans ce cas et que les coefficients :math:`N` et :math:`{\rho}_{l}` sont constants ce qui suppose une variation relativement faibles de la pression.

Soit un élément linéaire :


.. image:: images/Object_103.svg
    :width: 489
    :height: 206


.. _RefImage_Object_103.svg:

On écrit alors la pression sur la base des fonctions de formes tel que :

:math:`{p}_{l}(z,t)=\sum_{i=1}^{i=2}{p}^{i}(t){\lambda}_{i}(z)`

avec

:math:`{\lambda}_{1}(z)=0,5(1+\mathrm{2z})`

:math:`{\lambda}_{2}(z)=0,5(1-\mathrm{2z})`

On introduit alors les matrices suivantes :

:math:`\left[A\right]=\left[{A}_{ij}\right];{A}_{ij}={\int}_{-0,5}^{0,5}{\lambda}_{i}{\lambda}_{j}\mathrm{dz}`

:math:`\left[B\right]=\left[{B}_{ij}\right];{B}_{ij}={\int}_{-0,5}^{0,5}\frac{\partial {\lambda}_{i}}{\partial z}\frac{\partial {\lambda}_{j}}{\partial \mathrm{dz}}\mathrm{dz}`

ce qui conduit à

:math:`\left[A\right]=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]` et :math:`\left[B\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]`

On note ensuite classiquement :

:math:`\lbrace {p}_{l}\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{l}^{1}\\ {P}_{l}^{2}\end{array}\right\rbrace` :math:`\lbrace {M}^{\mathrm{ext}}\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{{M}^{\mathrm{ext}}}^{1}\\ {{M}^{\mathrm{ext}}}^{2}\end{array}\right\rbrace`

Sachant qu'on injecte un flux d'eau Q sur la face supérieure, on a donc

:math:`\lbrace {M}^{\mathrm{ext}}\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}0\\ -Q\end{array}\right\rbrace`

L'équation (2) devient :math:`\frac{N}{{\lambda}_{l}}\left[A\right]\lbrace \frac{{\mathrm{dp}}_{l}}{\mathrm{dt}}\rbrace +\left[B\right]\lbrace {p}_{l}\rbrace =\frac{-1}{{\lambda}_{l}\rho }\lbrace {M}^{\mathrm{ext}}\rbrace`

Considérant que pour des variations de temps courts Dt, l'évolution de p est quasiment linéaire, on peut écrire que

:math:`\lbrace \frac{{\mathrm{dp}}_{l}}{\mathrm{dt}}\rbrace =\frac{1}{\Delta t}\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{l}^{1}-{p}_{0}^{1}\\ {P}_{l}^{2}-{p}_{0}^{2}\end{array}\right\rbrace`

et comme on part ici d'un état initial de pression nulle, on aura

:math:`\lbrace \frac{{\mathrm{dp}}_{l}}{\mathrm{dt}}\rbrace =\frac{1}{\Delta t}\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{l}^{1}\\ {P}_{l}^{2}\end{array}\right\rbrace`

Finalement on obtient le système de deux équations à deux inconnues :

:math:`{p}_{l}^{1}(\frac{N}{{\lambda}_{l}\Delta t}+6)-{\mathrm{6p}}_{l}^{2}=\frac{-\mathrm{2Q}}{{\lambda}_{l}{\rho}_{l}}`

:math:`{p}_{l}^{2}(\frac{N}{{\lambda}_{l}\Delta t}+6)-{\mathrm{6p}}_{l}^{1}=\frac{-\mathrm{4Q}}{{\lambda}_{l}{\rho}_{l}}`

On a alors le résultat suivant:

:math:`\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{l}^{1}\\ {P}_{l}^{2}\end{array}\right\rbrace ={\left[\begin{array}{cc}\frac{N}{{\lambda}_{l}\Delta t}+6& -6\\ -6& \frac{N}{{\lambda}_{l}\Delta t}+6\end{array}\right]}^{-1}.\left\lbrace \begin{array}{c}\frac{-\mathrm{2Q}}{{\lambda}_{l}{\rho}_{l}}\\ \frac{-\mathrm{4Q}}{{\lambda}_{l}{\rho}_{l}}\end{array}\right\rbrace`


Grandeurs et résultats de référence
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On teste la valeur de la pression de pore sur les faces inférieures et supérieures du massif.


Incertitudes sur la solution
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Aucune incertitude sur la solution. La solution est analytique.


Références bibliographiques
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1) *Mécanique des milieux poreux* . O. Coussy, Editions Technip, 2000.