2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
L’équation de conservation de la masse fluide est donnée par l’expression suivante :
\(\frac{{\mathit{dm}}_{i}}{\mathit{dt}}+\text{Div}{M}_{i}=0\) \(i\) variant de \(1\) au nombre de constituants (1)
Dans notre exemple, le modèle est constitué d’un fluide : l’eau liquide. L’équation (1) s’applique donc à ce constituant:
\(\frac{{\mathrm{dm}}_{e}}{\mathrm{dt}}+\text{Div}{M}_{e}=0\) (2)
Le flux de fluide a pour expression :
\({M}_{e}={\rho}_{e}{\lambda}_{e}(-\nabla {p}_{e}+{\rho}_{e}g)\) (3)
Or l’apport massique de fluide est défini par l’équation (4) où les termes \({N}_{\mathrm{ee}}\) et \({N}_{\mathrm{ea}}\) (équation (5)) dépendent du degré de saturation \(S\) , de la porosité \(\phi\) , du coefficient de Biot \(b\) , de la perméabilité du liquide \({K}_{e}\) et de l’élasticité de la matrice solide \({K}_{s}\) .
\(\frac{{\mathrm{dm}}_{e}}{\mathrm{dt}}={\rho}_{e}{N}_{\mathrm{ee}}\frac{{\mathrm{dp}}_{e}}{\mathrm{dt}}+{\rho}_{e}{N}_{\mathrm{ea}}\frac{{\mathrm{dp}}_{a}}{\mathrm{dt}}\) (4)
\(\lbrace \begin{array}{c}{N}_{\mathrm{ee}}=-\varphi \frac{\partial S}{\partial {p}_{c}}+S(\frac{\varphi}{{K}_{e}}+\frac{b-\varphi }{{K}_{s}}S)\\ {N}_{\mathrm{ea}}={N}_{\mathrm{ae}}=\varphi \frac{\partial S}{\partial {p}_{c}}+(1-S)(\frac{b-\varphi }{{K}_{s}}S)\end{array}\) (5)
Le matériau est saturé, \(S=1\) et \(\frac{\partial S}{\partial {P}_{c}}=0\) . \(\Rightarrow {N}_{\mathrm{ee}}=S(\frac{\varphi}{{K}_{e}}+\frac{b-\varphi }{{K}_{s}}S)\) et \({N}_{\mathrm{ea}}=0\) .
La formulation variationnelle de l’équation (2), en tenant compte de (3) et (4) est :
\(\forall {P}_{e}^{\text{*}}\) vérifiant les conditions aux limites en pression :
\({\int}_{\Omega}{N}_{\mathrm{ee}}\frac{{\mathrm{dp}}_{e}}{\mathrm{dt}}{p}_{e}^{\text{*}}+{\int}_{\Omega}{\lambda}_{e}\nabla {p}_{e}.\nabla {p}_{e}^{\text{*}}={\int}_{\Omega}{\lambda}_{e}{\rho}_{e}g.\nabla {p}_{e}^{\text{*}}-{\int}_{\partial \Omega }\frac{{M}_{e}^{\mathrm{ext}}}{{\rho}_{e}}{p}_{e}^{\text{*}}\) (6)
Discrétisation
Pour le calcul de la solution analytique, on se place dans un cas unidimensionnel et on considère une discrétisation à un seul élément de degré 2(HEXA20, DPQ8). On précise que toute modélisation \(\mathrm{HM}\) étant de type \(\mathrm{P2P1}\) , même si le maillage est quadratique, la modélisation hydraulique est quant à elle linéaire.
On suppose dans les deux cas que la pesanteur est orientée selon les \(z\) négatifs.
On suppose d’autre part que les non-linéarités sont faibles et que les coefficients \(N,\lambda ,\rho\) sont constants. Il faut donc que les variations de pression soient suffisamment faibles pour que \(N\) et \(\rho\) puissent être supposés constants.
Discrétisation linéaire :
On écrira :
\(p(z,t)=\sum_{i=1}^{2}{p}^{i}(t){\lambda}_{i}(z)\) (7)
Avec :
\(\lbrace \begin{array}{c}{\lambda}_{1}=\frac{1}{2}-z\\ {\lambda}_{2}=\frac{1}{2}+z\end{array}\) (8)
En introduisant alors les matrices et vecteurs :
\(\begin{array}{c}[A]=[{A}_{ij}];{A}_{ij}=\underset{-1/2}{\overset{1/2}{\int}}{\lambda}_{i}{\lambda}_{j}\mathit{dz}\\ [B]=[{B}_{ij}];{B}_{ij}=\underset{-1/2}{\overset{1/2}{\int}}\frac{d{\lambda}_{i}}{\mathit{dz}}\frac{d{\lambda}_{j}}{\mathit{dz}}\mathit{dz}\\ \lbrace {F}_{g}\rbrace =\lbrace {F}_{\mathit{gi}}\rbrace ;{F}_{\mathit{gi}}=\underset{-1/2}{\overset{1/2}{\int}}\frac{d{\lambda}_{i}}{\mathit{dz}}\mathit{dz}\end{array}\)
Et en notant :
\(\lbrace {p}_{e}\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{e}^{1}\\ {p}_{e}^{2}\end{array}\right\rbrace\) (10)
\(\lbrace {M}_{e}^{\mathrm{ext}}\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{{M}_{e}^{\mathrm{ext}}}_{1}\\ {{M}_{e}^{\mathrm{ext}}}_{2}\end{array}\right\rbrace\) (11)
L’équation (6) devient :
:math:`frac{{N}_{mathit{ee}}}{{lambda}_{e}}[A]leftlbrace frac{{mathit{dp}}_{e}}{mathit{dt}}rightrbrace +[B]lbrace {p}_{e}rbrace ={rho}_{e}lbrace {F}_{g}rbrace -frac{1}{{lambda}_{e}{rho}_{e}}lbrace {M}_{e}^{mathit{ext}}rbrace ` (12)
Le calcul des matrices \([A]\) et \([B]\) et du vecteur :math:`lbrace {f}_{g}rbrace ` donne :
\([A]=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 1/2& 1\end{array}\right];[B]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right];\lbrace F\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right\rbrace\) (13)
On définit alors les vecteurs propres \({[A]}^{-1}[B]\) de : \(\lbrace {v}_{1}\rbrace ,\lbrace {v}_{2}\rbrace\) qui ont les propriétés d’orthogonalité suivantes :
\({\lbrace {v}_{i}\rbrace }^{T}[A]\lbrace {v}_{j}\rbrace ={\lbrace {v}_{i}\rbrace }^{T}[B]\lbrace {v}_{j}\rbrace =0\text{}\mathrm{si}\text{}i\ne j\) (14)
Et on pose :
\({a}_{i}={\lbrace {v}_{i}\rbrace }^{T}[A]\lbrace {v}_{i}\rbrace ,{b}_{i}={\lbrace {v}_{i}\rbrace }^{T}[B]\lbrace {v}_{i}\rbrace ,{f}_{i}={\lbrace {v}_{i}\rbrace }^{T}\lbrace {F}_{g}\rbrace \mathrm{et}{M}^{i}={\lbrace {v}_{i}\rbrace }^{T}\lbrace {M}^{\mathrm{ext}}\rbrace\) (15)
On trouve :
\(\lbrace {v}_{1}\rbrace =\lbrace \begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\rbrace ;\lbrace {v}_{2}\rbrace =\lbrace \begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\rbrace\) (16)
\(\lbrace \begin{array}{c}{a}_{1}=1;{b}_{1}=0;{f}_{1}=0\\ {a}_{2}=\frac{1}{3};{b}_{2}=4;{f}_{2}=-\mathrm{2g}\end{array}\) (17)
On décompose alors \(\lbrace {p}_{e}\rbrace\) sur la base des \(\lbrace {v}_{i}\rbrace\) :
:math:`lbrace {p}_{e}rbrace =sum_{i=1}^{2}{alpha}_{e}^{i}lbrace {v}_{i}rbrace ` (18)
Compte tenu des propriétés d’orthogonalité (14), l’équation (12) s’écrit :
\(\frac{{N}_{\mathit{ee}}}{{\lambda}_{e}}{a}_{i}\frac{d{\alpha}_{e}^{i}}{\mathit{dt}}+{b}_{i}{\alpha}_{e}^{i}={\rho}_{e}{f}_{i}-\frac{1}{{\lambda}_{e}{\rho}_{e}}{M}_{e}^{i}\) (19)
Conditions initiales
On suppose que :
\({p}_{e}(x,t=0)={p}_{a}^{0}-{p}_{c}^{0}\) uniformes en espace ;
Compte tenu des valeurs des vecteurs \(\lbrace {v}_{1}\rbrace ,\lbrace {v}_{2}\rbrace\) (équations (16)), on voit facilement que :
\(\lbrace \begin{array}{c}{\alpha}_{e}^{1}(t=0)={P}_{a}^{0}-{p}_{c}^{0}\\ {\alpha}_{e}^{2}(t=0)=0\end{array}\) (20)
On se place dans un cas où le flux de fluide est nul (\(\lbrace {M}_{e}^{\mathit{ext}}\rbrace =0\) ).
Compte tenu de (20) , de \({f}_{1}=0\) (équations (17)), la solution du système d’équations (19) est :
\(\lbrace \begin{array}{c}{\alpha}_{e}^{1}={P}_{a}^{0}-{p}_{c}^{0}\\ {\alpha}_{e}^{2}=\frac{{f}_{2}}{{b}_{2}}{\rho}_{e}(1-\exp(-\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}\frac{{\lambda}_{e}}{{N}_{\mathit{ee}}}t))\end{array}\) (21)
On trouve en revenant aux variables nodales :
\(\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{1}\\ {p}_{2}\end{array}\right\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{\alpha}_{1}-{\alpha}_{2}\\ {\alpha}_{1}+{\alpha}_{2}\end{array}\right\rbrace\)
\({\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{1}\\ {p}_{2}\end{array}\right\rbrace }_{\mathit{eau}}=\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{a}^{0}-{p}_{c}^{0}+\frac{{\rho}_{e}g}{2}(1-\exp(-12\frac{{\lambda}_{e}}{{N}_{\mathit{ee}}}t))\\ {P}_{a}^{0}-{p}_{c}^{0}-\frac{{\rho}_{e}g}{2}(1-\exp(-12\frac{{\lambda}_{e}}{{N}_{\mathit{ee}}}t))\end{array}\right\rbrace\) (22)
2.2. Grandeur de référence#
Évolution de la pression capillaire en fonction du temps aux points :
\(C,D\) \((z=h)\)
\(A,B\) \((z=0)\)
Pour la discrétisation quadratique : Vérification de la valeur constante de la pression aux nœuds \(E,F(z=\frac{h}{2})\) .
2.3. Incertitudes#
Solution analytique sur l’équation d’hydraulique, les incertitudes sont donc négligeables.