Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- L’équation de conservation de la masse fluide est donnée par l’expression suivante : :math:`\frac{{\mathit{dm}}_{i}}{\mathit{dt}}+\text{Div}{M}_{i}=0` :math:`i` variant de :math:`1` au nombre de constituants (1) Dans notre exemple, le modèle est constitué d’un fluide : l’eau liquide. L’équation (1) s’applique donc à ce constituant: :math:`\frac{{\mathrm{dm}}_{e}}{\mathrm{dt}}+\text{Div}{M}_{e}=0` (2) Le flux de fluide a pour expression : :math:`{M}_{e}={\rho}_{e}{\lambda}_{e}(-\nabla {p}_{e}+{\rho}_{e}g)` (3) Or l’apport massique de fluide est défini par l’équation (4) où les termes :math:`{N}_{\mathrm{ee}}` et :math:`{N}_{\mathrm{ea}}` (équation (5)) dépendent du degré de saturation :math:`S` , de la porosité :math:`\phi` , du coefficient de Biot :math:`b` , de la perméabilité du liquide :math:`{K}_{e}` et de l’élasticité de la matrice solide :math:`{K}_{s}` . :math:`\frac{{\mathrm{dm}}_{e}}{\mathrm{dt}}={\rho}_{e}{N}_{\mathrm{ee}}\frac{{\mathrm{dp}}_{e}}{\mathrm{dt}}+{\rho}_{e}{N}_{\mathrm{ea}}\frac{{\mathrm{dp}}_{a}}{\mathrm{dt}}` (4) :math:`\lbrace \begin{array}{c}{N}_{\mathrm{ee}}=-\varphi \frac{\partial S}{\partial {p}_{c}}+S(\frac{\varphi}{{K}_{e}}+\frac{b-\varphi }{{K}_{s}}S)\\ {N}_{\mathrm{ea}}={N}_{\mathrm{ae}}=\varphi \frac{\partial S}{\partial {p}_{c}}+(1-S)(\frac{b-\varphi }{{K}_{s}}S)\end{array}` (5) Le matériau est saturé, :math:`S=1` et :math:`\frac{\partial S}{\partial {P}_{c}}=0` . :math:`\Rightarrow {N}_{\mathrm{ee}}=S(\frac{\varphi}{{K}_{e}}+\frac{b-\varphi }{{K}_{s}}S)` et :math:`{N}_{\mathrm{ea}}=0` . La formulation variationnelle de l’équation (2), en tenant compte de (3) et (4) est : :math:`\forall {P}_{e}^{\text{*}}` vérifiant les conditions aux limites en pression : :math:`{\int}_{\Omega}{N}_{\mathrm{ee}}\frac{{\mathrm{dp}}_{e}}{\mathrm{dt}}{p}_{e}^{\text{*}}+{\int}_{\Omega}{\lambda}_{e}\nabla {p}_{e}.\nabla {p}_{e}^{\text{*}}={\int}_{\Omega}{\lambda}_{e}{\rho}_{e}g.\nabla {p}_{e}^{\text{*}}-{\int}_{\partial \Omega }\frac{{M}_{e}^{\mathrm{ext}}}{{\rho}_{e}}{p}_{e}^{\text{*}}` (6) *Discrétisation* Pour le calcul de la solution analytique, on se place dans un cas unidimensionnel et on considère une discrétisation à un seul élément de degré 2(HEXA20, DPQ8). On précise que toute modélisation :math:`\mathrm{HM}` étant de type :math:`\mathrm{P2P1}` , même si le maillage est quadratique, la modélisation hydraulique est quant à elle linéaire. On suppose dans les deux cas que la pesanteur est orientée selon les :math:`z` négatifs. On suppose d’autre part que les non-linéarités sont faibles et que les coefficients :math:`N,\lambda ,\rho` sont constants. Il faut donc que les variations de pression soient suffisamment faibles pour que :math:`N` et :math:`\rho` puissent être supposés constants. * **Discrétisation linéaire :** .. image:: images/1000050A0000159A000015166255A4D6FF4A3E8B.svg :width: 277 :height: 270 .. _RefImage_1000050A0000159A000015166255A4D6FF4A3E8B.svg: On écrira : :math:`p(z,t)=\sum_{i=1}^{2}{p}^{i}(t){\lambda}_{i}(z)` (7) Avec : :math:`\lbrace \begin{array}{c}{\lambda}_{1}=\frac{1}{2}-z\\ {\lambda}_{2}=\frac{1}{2}+z\end{array}` (8) En introduisant alors les matrices et vecteurs : (9) :math:`\begin{array}{c}[A]=[{A}_{ij}];{A}_{ij}=\underset{-1/2}{\overset{1/2}{\int}}{\lambda}_{i}{\lambda}_{j}\mathit{dz}\\ [B]=[{B}_{ij}];{B}_{ij}=\underset{-1/2}{\overset{1/2}{\int}}\frac{d{\lambda}_{i}}{\mathit{dz}}\frac{d{\lambda}_{j}}{\mathit{dz}}\mathit{dz}\\ \lbrace {F}_{g}\rbrace =\lbrace {F}_{\mathit{gi}}\rbrace ;{F}_{\mathit{gi}}=\underset{-1/2}{\overset{1/2}{\int}}\frac{d{\lambda}_{i}}{\mathit{dz}}\mathit{dz}\end{array}` Et en notant : :math:`\lbrace {p}_{e}\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{e}^{1}\\ {p}_{e}^{2}\end{array}\right\rbrace` (10) :math:`\lbrace {M}_{e}^{\mathrm{ext}}\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{{M}_{e}^{\mathrm{ext}}}_{1}\\ {{M}_{e}^{\mathrm{ext}}}_{2}\end{array}\right\rbrace` (11) L’équation (6) devient : :math:`\frac{{N}_{\mathit{ee}}}{{\lambda}_{e}}[A]\left\lbrace \frac{{\mathit{dp}}_{e}}{\mathit{dt}}\right\rbrace +[B]\lbrace {p}_{e}\rbrace ={\rho}_{e}\lbrace {F}_{g}\rbrace -\frac{1}{{\lambda}_{e}{\rho}_{e}}\lbrace {M}_{e}^{\mathit{ext}}\rbrace ` (12) Le calcul des matrices :math:`[A]` et :math:`[B]` et du vecteur :math:`\lbrace {f}_{g}\rbrace ` donne : :math:`[A]=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 1/2& 1\end{array}\right];[B]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right];\lbrace F\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right\rbrace` (13) On définit alors les vecteurs propres :math:`{[A]}^{-1}[B]` de : :math:`\lbrace {v}_{1}\rbrace ,\lbrace {v}_{2}\rbrace` qui ont les propriétés d’orthogonalité suivantes : :math:`{\lbrace {v}_{i}\rbrace }^{T}[A]\lbrace {v}_{j}\rbrace ={\lbrace {v}_{i}\rbrace }^{T}[B]\lbrace {v}_{j}\rbrace =0\text{}\mathrm{si}\text{}i\ne j` (14) Et on pose : :math:`{a}_{i}={\lbrace {v}_{i}\rbrace }^{T}[A]\lbrace {v}_{i}\rbrace ,{b}_{i}={\lbrace {v}_{i}\rbrace }^{T}[B]\lbrace {v}_{i}\rbrace ,{f}_{i}={\lbrace {v}_{i}\rbrace }^{T}\lbrace {F}_{g}\rbrace \mathrm{et}{M}^{i}={\lbrace {v}_{i}\rbrace }^{T}\lbrace {M}^{\mathrm{ext}}\rbrace` (15) On trouve : :math:`\lbrace {v}_{1}\rbrace =\lbrace \begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\rbrace ;\lbrace {v}_{2}\rbrace =\lbrace \begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\rbrace` (16) :math:`\lbrace \begin{array}{c}{a}_{1}=1;{b}_{1}=0;{f}_{1}=0\\ {a}_{2}=\frac{1}{3};{b}_{2}=4;{f}_{2}=-\mathrm{2g}\end{array}` (17) On décompose alors :math:`\lbrace {p}_{e}\rbrace` sur la base des :math:`\lbrace {v}_{i}\rbrace` : :math:`\lbrace {p}_{e}\rbrace =\sum_{i=1}^{2}{\alpha}_{e}^{i}\lbrace {v}_{i}\rbrace ` (18) Compte tenu des propriétés d’orthogonalité (14), l’équation (12) s’écrit : :math:`\frac{{N}_{\mathit{ee}}}{{\lambda}_{e}}{a}_{i}\frac{d{\alpha}_{e}^{i}}{\mathit{dt}}+{b}_{i}{\alpha}_{e}^{i}={\rho}_{e}{f}_{i}-\frac{1}{{\lambda}_{e}{\rho}_{e}}{M}_{e}^{i}` (19) *Conditions initiales* On suppose que : :math:`{p}_{e}(x,t=0)={p}_{a}^{0}-{p}_{c}^{0}` uniformes en espace ; Compte tenu des valeurs des vecteurs :math:`\lbrace {v}_{1}\rbrace ,\lbrace {v}_{2}\rbrace` (équations (16)), on voit facilement que : :math:`\lbrace \begin{array}{c}{\alpha}_{e}^{1}(t=0)={P}_{a}^{0}-{p}_{c}^{0}\\ {\alpha}_{e}^{2}(t=0)=0\end{array}` (20) On se place dans un cas où le flux de fluide est nul (:math:`\lbrace {M}_{e}^{\mathit{ext}}\rbrace =0` ). Compte tenu de (20) , de :math:`{f}_{1}=0` (équations (17)), la solution du système d’équations (19) est : :math:`\lbrace \begin{array}{c}{\alpha}_{e}^{1}={P}_{a}^{0}-{p}_{c}^{0}\\ {\alpha}_{e}^{2}=\frac{{f}_{2}}{{b}_{2}}{\rho}_{e}(1-\exp(-\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}\frac{{\lambda}_{e}}{{N}_{\mathit{ee}}}t))\end{array}` (21) On trouve en revenant aux variables nodales : :math:`\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{1}\\ {p}_{2}\end{array}\right\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{\alpha}_{1}-{\alpha}_{2}\\ {\alpha}_{1}+{\alpha}_{2}\end{array}\right\rbrace` :math:`{\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{1}\\ {p}_{2}\end{array}\right\rbrace }_{\mathit{eau}}=\left\lbrace \begin{array}{c}{P}_{a}^{0}-{p}_{c}^{0}+\frac{{\rho}_{e}g}{2}(1-\exp(-12\frac{{\lambda}_{e}}{{N}_{\mathit{ee}}}t))\\ {P}_{a}^{0}-{p}_{c}^{0}-\frac{{\rho}_{e}g}{2}(1-\exp(-12\frac{{\lambda}_{e}}{{N}_{\mathit{ee}}}t))\end{array}\right\rbrace` (22) Grandeur de référence --------------------- 1. Évolution de la pression capillaire en fonction du temps aux points : * :math:`C,D` :math:`(z=h)` * :math:`A,B` :math:`(z=0)` 1. Pour la discrétisation quadratique : Vérification de la valeur constante de la pression aux nœuds :math:`E,F(z=\frac{h}{2})` . Incertitudes ------------ Solution analytique sur l’équation d’hydraulique, les incertitudes sont donc négligeables.