2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul#
Les déformations totales dans l’acier et dans le béton sont :
\({\epsilon}_{a}^{t}={\epsilon}_{a}^{m}+{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}}\) et \({\epsilon}_{b}^{t}={\epsilon}_{b}^{m}\) avec \({\epsilon}_{a}^{\mathit{th}}=\alpha \Delta T\)
Soient \(\epsilon\) la déformation du plan moyen de la plaque et \(\chi\) la courbure de la plaque, les deux inconnues à trouver. En respectant la cinématique (les sections restent planes), l’acier étant parfaitement lié au béton, on a :
\({\epsilon}_{a}^{t}=\epsilon -e\chi\) et \({\epsilon}_{b}^{t}=\epsilon -y\chi\)
L’effort normal imposé sur la plaque est nul :
\(N={N}_{a}+{N}_{b}={E}_{a}{S}_{a}{\epsilon}_{a}^{m}+{E}_{b}\int{\epsilon}_{b}^{m}\text{}={E}_{a}{S}_{a}(\epsilon -e\chi -{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}})+{E}_{b}{S}_{b}\epsilon =0\)
De même, le moment fléchissant imposé sur la plaque est nul :
\(M={M}_{a}+{M}_{b}=e{E}_{a}{S}_{a}{\epsilon}_{a}^{m}+{E}_{b}\inty{\epsilon}_{b}^{m}\text{}={E}_{a}{S}_{a}(e\epsilon -{e}^{2}\chi -e{\epsilon}_{a}^{\mathrm{th}})+{E}_{b}{I}_{b}\chi =0\)
On obtient ainsi deux équations pour déterminer les deux inconnues :
\(\begin{array}{c}({E}_{a}{S}_{a}+{E}_{b}{S}_{b})\epsilon -{E}_{a}{S}_{a}e\chi ={E}_{a}{S}_{a}{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}}\\ {E}_{a}{S}_{a}e\epsilon +({E}_{b}{I}_{b}-{E}_{a}{S}_{a}{e}^{2})\chi ={E}_{a}{S}_{a}e{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}}\end{array}\)
On obtient :
\(\epsilon =\frac{\alpha \Delta T}{A}\) et \(\chi =\frac{-\alpha \Delta T}{B}\)
avec :
\(A=1+\frac{{E}_{b}{S}_{b}}{{E}_{a}{S}_{a}}+\frac{{S}_{b}{e}^{2}}{{I}_{b}}\) et \(B=e+(\frac{1}{{E}_{a}{S}_{a}}+\frac{1}{{E}_{b}{S}_{b}})+\frac{{E}_{b}{I}_{b}}{e}\)
A partir de ces valeurs on peut calculer :
l’allongement de la plaque : \(\Delta L=\epsilon L\)
la rotation de la plaque : \({R}_{y}=\chi L\)
la flèche au bout de la plaque : \(f=-\chi \frac{{L}^{2}}{2}\) ou au milieu de la plaque \(f=-\chi \frac{{L}^{2}}{8}\)
la contrainte normale dans l’acier : \({\sigma}_{a}={E}_{a}(\epsilon -e\chi -{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}})\)
l’effort normal dans le béton : \({N}_{b}={E}_{b}{S}_{b}\epsilon\)
2.2. Grandeurs et résultats de référence#
On calcule l’allongement et la flèche de la plaque (déplacement \({U}_{x}\) et \({U}_{z}\) d’un nœud du bord \(C\) de la plaque), la rotation (\({R}_{y}\) constante sur la longueur), l’effort normal dans les armatures, l’effort normal dans le béton \({N}_{b}\) .
2.3. Incertitudes sur la solution#
Solution exacte.