Solution de référence
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Méthode de calcul
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Les déformations totales dans l'acier et dans le béton sont :

 :math:`{\epsilon}_{a}^{t}={\epsilon}_{a}^{m}+{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}}`     et    :math:`{\epsilon}_{b}^{t}={\epsilon}_{b}^{m}`         avec    :math:`{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}}=\alpha \Delta T`

Soient :math:`\epsilon` la déformation du plan moyen de la plaque et :math:`\chi` la courbure de la plaque, les deux inconnues à trouver. En respectant la cinématique (les sections restent planes), l'acier étant parfaitement lié au béton, on a :

 :math:`{\epsilon}_{a}^{t}=\epsilon -e\chi`     et    :math:`{\epsilon}_{b}^{t}=\epsilon -y\chi`

L'effort normal imposé sur la plaque est nul :

 :math:`N={N}_{a}+{N}_{b}={E}_{a}{S}_{a}{\epsilon}_{a}^{m}+{E}_{b}\int{\epsilon}_{b}^{m}\text{}={E}_{a}{S}_{a}(\epsilon -e\chi -{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}})+{E}_{b}{S}_{b}\epsilon =0`

De même, le moment fléchissant imposé sur la plaque est nul :

 :math:`M={M}_{a}+{M}_{b}=e{E}_{a}{S}_{a}{\epsilon}_{a}^{m}+{E}_{b}\inty{\epsilon}_{b}^{m}\text{}={E}_{a}{S}_{a}(e\epsilon -{e}^{2}\chi -e{\epsilon}_{a}^{\mathrm{th}})+{E}_{b}{I}_{b}\chi =0`

On obtient ainsi deux équations pour déterminer les deux inconnues :

 :math:`\begin{array}{c}({E}_{a}{S}_{a}+{E}_{b}{S}_{b})\epsilon -{E}_{a}{S}_{a}e\chi ={E}_{a}{S}_{a}{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}}\\ {E}_{a}{S}_{a}e\epsilon +({E}_{b}{I}_{b}-{E}_{a}{S}_{a}{e}^{2})\chi ={E}_{a}{S}_{a}e{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}}\end{array}`

On obtient :

 :math:`\epsilon =\frac{\alpha \Delta T}{A}`         et         :math:`\chi =\frac{-\alpha \Delta T}{B}`

avec :

 :math:`A=1+\frac{{E}_{b}{S}_{b}}{{E}_{a}{S}_{a}}+\frac{{S}_{b}{e}^{2}}{{I}_{b}}`             et         :math:`B=e+(\frac{1}{{E}_{a}{S}_{a}}+\frac{1}{{E}_{b}{S}_{b}})+\frac{{E}_{b}{I}_{b}}{e}`

A partir de ces valeurs on peut calculer :


*   l'allongement de la plaque : :math:`\Delta L=\epsilon L`


*   la rotation de la plaque : :math:`{R}_{y}=\chi L`


*   la flèche au bout de la plaque : :math:`f=-\chi \frac{{L}^{2}}{2}` ou au milieu de la plaque :math:`f=-\chi \frac{{L}^{2}}{8}`


*   la contrainte normale dans l'acier : :math:`{\sigma}_{a}={E}_{a}(\epsilon -e\chi -{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}})`


*   l'effort normal dans le béton : :math:`{N}_{b}={E}_{b}{S}_{b}\epsilon`


Grandeurs et résultats de référence
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On calcule l'allongement et la flèche de la plaque (déplacement :math:`{U}_{x}` et :math:`{U}_{z}` d'un nœud du bord :math:`C` de la plaque), la rotation (:math:`{R}_{y}` constante sur la longueur), l'effort normal dans les armatures, l'effort normal dans le béton :math:`{N}_{b}` .


Incertitudes sur la solution
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Solution exacte.