2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Pour réduire le temps nécessaire à la mise en place de calculs thermiques dans le domaine linéaire, une nouvelle méthodologie est proposée.

Une structure \(\Omega\) est considérée. Un choc thermique est imposé sur une partie de la structure \(\partial \Omega\) . La figure suivante présente un exemple.

Le choc thermique est défini comme un incrément de température significatif et instantané. La figure 2 présente un exemple de plusieurs chocs thermiques consécutifs.

La loi de Fourrier décrivant les échanges thermiques appliquée à cette structure soumise à un choc thermique peut s’écrire sous cette forme :

\(T(x,t)=\lbrace \begin{array}{c}T(x,{t}_{0})\text{pour t <}{t}_{c}\\ T(x,{t}_{0})+\underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}T(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\text{pour t}\ge \text{}{t}_{c}\end{array}\)

Où \(T(x,{t}_{0})\) est l’état initial de la structure, connu, et \({t}_{c}\) l’instant du choc thermique. Pour différents chocs thermiques, il faut donc résoudre ce problème et ainsi obtenir, pour chacun des chocs la solution \(T(x,t)\) .

2.1.1. Cas du choc unitaire

Si un choc unitaire \(\Delta {T}_{U}\) (choc de \(\Delta T=1\) degré) est imposé sur \(\partial \Omega\) à l’instant \(t={t}_{c}\) , le problème s’écrit :

\({T}_{U}(x,t)=\lbrace \begin{array}{c}{T}_{U}(x,{t}_{0})\text{pour t <}{t}_{c}\\ {T}_{U}(x,{t}_{0})+\underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}{T}_{U}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\text{pour t}\ge \text{}{t}_{c}\end{array}\)

Avec \({T}_{U}(x,{t}_{0})\) l’état initial de la structure avant le choc unitaire. La solution à ce problème peut être déterminée numériquement à l’aide de la méthode des éléments finis, notamment l’opérateur THER_LINEAIRE de Code_Aster si les paramètres matériaux sont indépendants de la température. Une fois le problème résolu, la solution \({T}_{U}(x,t)\) est connue.

Comme on s’intéresse qu’au différentiel de température, une notation simplifiée est proposée :

\(\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)={T}_{U}(x,t)-{T}_{U}(x,{t}_{0})\)

On a donc

\(\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)=\lbrace \begin{array}{c}0\text{pour t <}{t}_{c}\\ \underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\text{pour t}\ge \text{}{t}_{c}\end{array}\)

2.1.2. Cas d’un choc quelconque

Un choc thermique, toujours sur \(\partial \Omega\) , mais d’intensité quelconque \(\beta\) est cette fois imposé. Ce problème s’écrit sous la forme :

\({T}_{\beta}(x,t)=\lbrace \begin{array}{c}{T}_{\beta}(x,{T}_{0})\text{pour t <}{t}_{c}\\ {T}_{\beta}(x,{T}_{0})+\underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}{T}_{\beta}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\text{pour t}\ge \text{}{t}_{c}\end{array}\)

Avec \({T}_{\beta}(x,{t}_{0})\) l’état initial de la structure avant le choc thermique. En reprenant la notation simplifiée, on obtient :

\(\stackrel{̃}{{T}_{\beta}}(x,t)=\lbrace \begin{array}{c}0\text{pour t <}{t}_{c}\\ \underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}{T}_{\beta}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\text{pour t}\ge \text{}{t}_{c}\end{array}\)

Par rapport au problème unitaire précédent, seule l’intensité du chargement thermique a été modifiée : \(\Delta T=\beta \Delta {T}_{U}\) . En effet, le choc est toujours sur \(\partial \Omega\) , il est simplement amplifié du scalaire \(\beta\) . Par conséquent :

Cette dernière équation n’est valable que pour un problème de thermique linéaire et donc \(\beta\) indépendant de la position. La solution du choc thermique quelconque est donc :

\(\stackrel{̃}{{T}_{\beta}}(x,t)=\lbrace \begin{array}{c}0\text{pour t <}{t}_{c}\\ \underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\beta \frac{{\partial}^{2}\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\text{pour t >}{t}_{c}\end{array}\)

De plus, en considérant que le scalaire \(\beta\) est indépendant du temps, ce qui est cohérent avec un choc thermique, on a :

\(\underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\beta \frac{{\partial}^{2}\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}=\beta \underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\)

L’intégrale présente dans cette équation problème est en réalité la solution obtenue auparavant pour le choc unitaire :

\(\underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}=\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)\text{}\mathit{pour}t\ge {t}_{c}\)

La solution au problème du choc thermique quelconque sur \(\partial \Omega\) solution obtenue pour le choc thermique unitaire :

\(\stackrel{̃}{{T}_{\beta}}(x,t)=\beta .\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)\)

Il est ici considéré que le choc thermique unitaire a lieu au même instant que le choc thermique \(\Delta {t}_{c}\) . Si le choc a lieu à un autre instant, il suffit simplement de décaler la solution :

\(\stackrel{̃}{{T}_{\beta}}(x,t)=\beta .\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t-({t}_{c}-{t}_{\mathit{c2}}))\)

Où \({t}_{\mathit{c2}}\) est l’instant du choc unitaire. Par conséquent, en choisissant le choc unitaire de sorte à ce que \({t}_{\mathit{c2}}\) soit à l’instant \(t=\mathrm{0s}\) , la solution devient :

\(\stackrel{̃}{{T}_{\beta}}(x,t)=\beta .\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t-{t}_{c})\)

Il est donc possible de déterminer le champ de température de la structure en procédant ainsi :

• Définir un champ de température initial uniforme sur la structure \({T}_{\beta}(x,{t}_{0})\)

• Mettre en place une analyse thermique d’un choc unitaire au temps \(t=\mathrm{0s}\) sur la structure et obtenir la solution du problème unitaire et déterminer \(\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)\) . Il peut d’avérer judicieux d’imposer une température initiale nulle de sorte à ce que \(\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)={T}_{U}(x,t)\) .

• Calculer la solution (en espace et en temps) à partir d’une combinaison linéaire de la situation initiale \(T(x,{t}_{0})\) , de l’intensité du choc \(\beta\) ainsi que de la solution du problème du chocunitaire \(\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)\) .

2.2. Résultats de référence

2.2.1. Analyses thermiques

Le comportement thermique est axisymétrique. Plusieurs points à travers l’épaisseur et deux instants sont choisis pour tester la réponse en température . Les résultats de références ont été obtenus par Code_Aster et avec un maillage axisymétrique linéaire quatre fois plus fin. Les coordonnées géométriques des points de références sont les suivantes:

Points	Rayon (m)
Intrados	0.018
A	0.0185
B	0.019
C	0.020
D	0.022
Extrados	0.024

Pour retrouver ces résultats de référence, il suffit de changer la valeur de la variable «Temp_Choc» dans le fichier de commande du cas test lorsqu’on effectue les calculs unitaires pour chacune des deux modélisations et de lire en entrée le maillage raffiné.