Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- Pour réduire le temps nécessaire à la mise en place de calculs thermiques dans le domaine linéaire, une nouvelle méthodologie est proposée. Une structure :math:`\Omega` est considérée. Un choc thermique est imposé sur une partie de la structure :math:`\partial \Omega` . La figure suivante présente un exemple. .. image:: images/100002000000008100000080925C7F1100785B57.png :width: 1.339in :height: 1.3319in .. _RefImage_100002000000008100000080925C7F1100785B57.png: Le choc thermique est défini comme un incrément de température significatif et instantané. La figure 2 présente un exemple de plusieurs chocs thermiques consécutifs. .. image:: images/1000020000000122000000AE9B5D7AAA335C641A.png :width: 3.0161in :height: 1.8091in .. _RefImage_1000020000000122000000AE9B5D7AAA335C641A.png: La loi de Fourrier décrivant les échanges thermiques appliquée à cette structure soumise à un choc thermique peut s’écrire sous cette forme : :math:`T(x,t)=\lbrace \begin{array}{c}T(x,{t}_{0})\text{pour t <}{t}_{c}\\ T(x,{t}_{0})+\underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}T(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\text{pour t}\ge \text{}{t}_{c}\end{array}` Où :math:`T(x,{t}_{0})` est l’état initial de la structure, connu, et :math:`{t}_{c}` l’instant du choc thermique. Pour différents chocs thermiques, il faut donc résoudre ce problème et ainsi obtenir, pour chacun des chocs la solution :math:`T(x,t)` . Cas du choc unitaire ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Si un choc unitaire :math:`\Delta {T}_{U}` (choc de :math:`\Delta T=1` degré) est imposé sur :math:`\partial \Omega` à l’instant :math:`t={t}_{c}` , le problème s’écrit : :math:`{T}_{U}(x,t)=\lbrace \begin{array}{c}{T}_{U}(x,{t}_{0})\text{pour t <}{t}_{c}\\ {T}_{U}(x,{t}_{0})+\underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}{T}_{U}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\text{pour t}\ge \text{}{t}_{c}\end{array}` Avec :math:`{T}_{U}(x,{t}_{0})` l’état initial de la structure avant le choc unitaire. La solution à ce problème peut être déterminée numériquement à l’aide de la méthode des éléments finis, notamment l’opérateur THER_LINEAIRE de Code_Aster si les paramètres matériaux sont indépendants de la température. Une fois le problème résolu, la solution :math:`{T}_{U}(x,t)` est connue. Comme on s’intéresse qu’au différentiel de température, une notation simplifiée est proposée : :math:`\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)={T}_{U}(x,t)-{T}_{U}(x,{t}_{0})` On a donc :math:`\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)=\lbrace \begin{array}{c}0\text{pour t <}{t}_{c}\\ \underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\text{pour t}\ge \text{}{t}_{c}\end{array}` Cas d'un choc quelconque ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Un choc thermique, toujours sur :math:`\partial \Omega` , mais d’intensité quelconque :math:`\beta` est cette fois imposé. Ce problème s’écrit sous la forme : :math:`{T}_{\beta}(x,t)=\lbrace \begin{array}{c}{T}_{\beta}(x,{T}_{0})\text{pour t <}{t}_{c}\\ {T}_{\beta}(x,{T}_{0})+\underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}{T}_{\beta}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\text{pour t}\ge \text{}{t}_{c}\end{array}` Avec :math:`{T}_{\beta}(x,{t}_{0})` l’état initial de la structure avant le choc thermique. En reprenant la notation simplifiée, on obtient : :math:`\stackrel{̃}{{T}_{\beta}}(x,t)=\lbrace \begin{array}{c}0\text{pour t <}{t}_{c}\\ \underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}{T}_{\beta}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\text{pour t}\ge \text{}{t}_{c}\end{array}` Par rapport au problème unitaire précédent, seule l’intensité du chargement thermique a été modifiée : :math:`\Delta T=\beta \Delta {T}_{U}` . En effet, le choc est toujours sur :math:`\partial \Omega` , il est simplement amplifié du scalaire :math:`\beta` . Par conséquent : Cette dernière équation n’est valable que pour un problème de thermique linéaire et donc :math:`\beta` indépendant de la position. La solution du choc thermique quelconque est donc : :math:`\stackrel{̃}{{T}_{\beta}}(x,t)=\lbrace \begin{array}{c}0\text{pour t <}{t}_{c}\\ \underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\beta \frac{{\partial}^{2}\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}\text{pour t >}{t}_{c}\end{array}` De plus, en considérant que le scalaire :math:`\beta` est indépendant du temps, ce qui est cohérent avec un choc thermique, on a : :math:`\underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\beta \frac{{\partial}^{2}\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}=\beta \underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}` L’intégrale présente dans cette équation problème est en réalité la solution obtenue auparavant pour le choc unitaire : :math:`\underset{{t}_{c}}{\overset{t}{\int}}a\frac{{\partial}^{2}\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\mathit{dt}=\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)\text{}\mathit{pour}t\ge {t}_{c}` La solution au problème du choc thermique quelconque sur :math:`\partial \Omega` solution obtenue pour le choc thermique unitaire : :math:`\stackrel{̃}{{T}_{\beta}}(x,t)=\beta .\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)` Il est ici considéré que le choc thermique unitaire a lieu au même instant que le choc thermique :math:`\Delta {t}_{c}` . Si le choc a lieu à un autre instant, il suffit simplement de décaler la solution : :math:`\stackrel{̃}{{T}_{\beta}}(x,t)=\beta .\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t-({t}_{c}-{t}_{\mathit{c2}}))` Où :math:`{t}_{\mathit{c2}}` est l’instant du choc unitaire. Par conséquent, en choisissant le choc unitaire de sorte à ce que :math:`{t}_{\mathit{c2}}` soit à l’instant :math:`t=\mathrm{0s}` , la solution devient : :math:`\stackrel{̃}{{T}_{\beta}}(x,t)=\beta .\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t-{t}_{c})` Il est donc possible de déterminer le champ de température de la structure en procédant ainsi : * Définir un champ de température initial uniforme sur la structure :math:`{T}_{\beta}(x,{t}_{0})` * Mettre en place une analyse thermique d’un choc unitaire au temps :math:`t=\mathrm{0s}` sur la structure et obtenir la solution du problème unitaire et déterminer :math:`\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)` . Il peut d’avérer judicieux d’imposer une température initiale nulle de sorte à ce que :math:`\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)={T}_{U}(x,t)` . * Calculer la solution (en espace et en temps) à partir d’une combinaison linéaire de la situation initiale :math:`T(x,{t}_{0})` , de l’intensité du choc :math:`\beta` ainsi que de la solution du problème du chocunitaire :math:`\stackrel{̃}{{T}_{U}}(x,t)` . Résultats de référence ---------------------- Analyses thermiques ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Le comportement thermique est axisymétrique. Plusieurs points à travers l'épaisseur et deux instants sont choisis pour tester la réponse en température . Les résultats de références ont été obtenus par Code_Aster et avec un maillage axisymétrique linéaire quatre fois plus fin. Les coordonnées géométriques des points de références sont les suivantes: .. csv-table:: "Points", "Rayon (m)" "Intrados", "0.018" "A", "0.0185" "B", "0.019" "C", "0.020" "D", "0.022" "Extrados", "0.024" Pour retrouver ces résultats de référence, il suffit de changer la valeur de la variable «Temp_Choc» dans le fichier de commande du cas test lorsqu’on effectue les calculs unitaires pour chacune des deux modélisations et de lire en entrée le maillage raffiné.