2. Solution de référence#
Ce test procède, pour chaque modélisation, à une inter-comparaison entre la solution de référence (obtenue avec un pas de temps très fin), la solution avec une discrétisation moyennement grossière, la solution avec effet de la température (ou d’une autre variable de commande), la solution en changeant le système d’unités (\(\mathrm{Pa}\) en \(\mathrm{MPa}\) ), et celle obtenue après rotation ou symétrie.
2.1. Définition des cas tests de robustesse#
On propose 3 angles d’analyse pour tester la robustesse de l’intégration des lois de comportement :
études de problèmes équivalents
vérification de la matrice tangente
étude de la discrétisation du pas de temps
Pour chacun d’eux, on étudie l’évolution les écarts relatifs entre plusieurs calculs utilisant la même loi mais présentant des paramètres ou des options de calculs différentes. L’exploitation porte sur les invariants du tenseur des contraintes: trace du tenseur, contrainte de Von-Mises et les variables internes de nature scalaire: généralement il s’agit de la plasticité cumulée.
Les critères de convergence globaux sont les valeurs prévues par défaut par ASTER. (RESI_GLOB_RELA=10-6, ITER_GLOB_MAXI=10). On a adopté un schéma usuel de Newton pour la réactualisation de la matrice tangente: à chaque incrément convergé (REAC_INC=1) et toutes les 1 itérations (REAC_ITER=1).
2.2. Études de problèmes équivalents#
Pour une discrétisation grossière des trajets: 1 pas de temps pour chaque segment du trajet, la solution obtenue pour chaque loi est comparée à 3 problèmes strictement équivalents pour l’état du point matériel:
\(\mathit{Tpa}\) , même trajet avec un changement d’unité, on substitue les \(\mathrm{Pa}\) au \(\mathrm{MPa}\) dans les données matériaux et les éventuels paramètres de la loi,
\(\mathit{Trot}\) , trajet en imposant le même tenseur \(\stackrel{ˉ}{\varepsilon}\) après une rotation: \({\rbrace ^{t}R\cdot \stackrel{ˉ}{\varepsilon}\cdot R\) où \(R\) est une matrice de rotation. Pour le cas 2D, l’angle de rotation sera \(\alpha =0.9\mathit{rad}\) , pour la configuration 3D, on a choisi les angles d’Euler avec les valeurs arbitraires { \(\Psi =0.9\mathit{rad}\) , \(\theta =0.7\mathit{rad}\) , et \(\mathrm{\phi }=0.4\mathit{rad}\) },
\(\mathit{Tsym}\) , trajet en imposant le tenseur \(\stackrel{ˉ}{\varepsilon}\) après une symétrie: permutation des axes \(x\) et \(y\) en 2D, permutation de \(x\) en \(y\) , \(y\) en \(z\) et \(z\) en \(x\) en 3D.
Pour chacun de ces problèmes, la solution (invariants des contraintes, déformation plastique équivalente cumulée) doit être identique à la solution de base, obtenue avec la même discrétisation en temps. La valeur de référence de l’écart est donc 0. Cela signifie en pratique que l’écart trouvé doit être de l’ordre de la précision machine soit environ \(1.E-15\) .
2.3. Test de la matrice tangente#
On teste également pour chaque comportement la matrice tangente, par différence avec la matrice obtenue par perturbation. Là encore, la valeur de référence est 0.
2.4. Étude de la discrétisation du pas de temps (A2)#
On étudie le comportement de l’intégration des lois en fonction de la discrétisation. Pour une même modélisation, donc un comportement donné, on étudie ici plusieurs discrétisations en temps différentes, en multipliant par 5 le nombre de pas du trajet de chargement. Dans la référence [1], la discrétisation est poussée jusqu’à 3125 incréments par segment sur le même principe. Ici, pour limiter la durée des tests, on se limite à 3 raffinements successifs. Ceci conduit à la discrétisation suivante:
Nombre d’intervalle par segment de chargement |
1 |
5 |
25 |
Nombre de pas total sur l’ensemble du trajet |
8 |
40 |
200 |
Calcul |
\(\mathit{T0}\) |
\(\mathit{T1}\) |
\(\mathit{Tréf}\) solution de référence |
La solution de référence, \(\mathit{Tréf}\) , est celle obtenu pour \(N=25\) , soit 200 pas pour la totalité du trajet. Ces différentes solutions permettent de juger de la sensibilité aux grands pas de temps et de la robustesse de l’intégration. Pour faire apparaître la vitesse de convergence en fonction du pas de temps, on reporte ici les solutions présentées dans [1], jusqu’à 3125 pas de temps pour chacun des 8 segments du trajet de chargement.
2.4.1. VMIS_LINE#
Écarts |
\(\mathrm{N1}\) |
\(\mathrm{N5}\) |
\(\mathrm{N25}\) |
\(\mathrm{N125}\) |
\(\mathrm{N625}\) |
\(\mathrm{N3125}\) |
\({\mathrm{V1}}_{N}\) |
3.70e-02 |
1.38e-02 |
3.37e-03 |
6.82e-04 |
1.14e-04 |
0.00e+00 |
\(\mathrm{VMIS}\) |
4.34e-03 |
1.86e-03 |
4.72e-04 |
9.72e-05 |
1.64e-05 |
0.00e+00 |
\(\mathrm{TRAC}\) |
1.19e-01 |
6.89e-02 |
1.70e-02 |
3.45e-03 |
5.80e-04 |
0.00e+00 |
2.4.2. VMIS_ISOT_TRAC#
Écarts |
\(\mathrm{N1}\) |
\(\mathrm{N5}\) |
\(\mathrm{N25}\) |
\(\mathrm{N125}\) |
\(\mathrm{N625}\) |
\(\mathrm{N3125}\) |
\({\mathrm{V1}}_{N}\) |
3.58e-02 |
1.34e-02 |
3.26e-03 |
6.60e-04 |
1.11e-04 |
0.00e+00 |
\(\mathrm{VMIS}\) |
6.38e-03 |
2.38e-03 |
5.81e-04 |
1.18e-04 |
2.00e-05 |
0.00e+00 |
\(\mathrm{TRAC}\) |
1.20e-01 |
7.69e-02 |
1.67e-02 |
3.30e-03 |
5.53e-04 |
0.00e+00 |
2.4.3. VMIS_CINE_LINE#
Écarts |
\(\mathrm{N1}\) |
\(\mathrm{N5}\) |
\(\mathrm{N25}\) |
\(\mathrm{N125}\) |
\(\mathrm{N625}\) |
\(\mathrm{N3125}\) |
\(\mathrm{VMIS}\) |
3.91e-03 |
1.05e-03 |
2.16e-04 |
4.15e-05 |
6.91e-06 |
0.00e+00 |
\(\mathrm{TRAC}\) |
7.48e-14 |
7.44e-14 |
7.44e-14 |
7.69e-14 |
5.87e-14 |
0.00e+00 |
2.4.4. VMIS_ECMI_LINE#
Écarts |
\(\mathrm{N1}\) |
\(\mathrm{N5}\) |
\(\mathrm{N25}\) |
\(\mathrm{N125}\) |
\(\mathrm{N625}\) |
\(\mathrm{N3125}\) |
\({\mathrm{V1}}_{N}\) |
3.71e-02 |
1.39e-02 |
3.40e-03 |
6.88e-04 |
1.15e-04 |
0.00e+00 |
\(\mathrm{VMIS}\) |
3.63e-03 |
2.00e-03 |
4.79e-04 |
9.53e-05 |
1.61e-05 |
0.00e+00 |
\(\mathrm{TRAC}\) |
1.64e-01 |
9.16e-02 |
2.18e-02 |
4.33e-03 |
7.30e-04 |
0.00e+00 |
2.4.5. VMIS_ECMI_TRAC#
Écarts |
\(\mathrm{N1}\) |
\(\mathrm{N5}\) |
\(\mathrm{N25}\) |
\(\mathrm{N125}\) |
\(\mathrm{N625}\) |
\(\mathrm{N3125}\) |
\({\mathrm{V1}}_{N}\) |
3.70e-02 |
1.38e-02 |
3.38e-03 |
6.84e-04 |
1.15e-04 |
0.00e+00 |
\(\mathrm{VMIS}\) |
2.36e-03 |
1.18e-03 |
2.98e-04 |
6.00e-05 |
1.01e-05 |
0.00e+00 |
\(\mathrm{TRAC}\) |
1.46e-01 |
8.51e-02 |
2.13e-02 |
4.31e-03 |
7.22e-04 |
0.00e+00 |
2.4.6. VMIS_CIN1_CHAB#
Écarts |
\(\mathrm{N1}\) |
\(\mathrm{N5}\) |
\(\mathrm{N25}\) |
\(\mathrm{N125}\) |
\(\mathrm{N625}\) |
\(\mathrm{N3125}\) |
\({\mathrm{V1}}_{N}\) |
3.32e-02 |
1.12e-02 |
2.57e-03 |
5.10e-04 |
8.52e-05 |
0.00e+00 |
\(\mathrm{VMIS}\) |
9.04e-02 |
3.24e-02 |
7.45e-03 |
1.48e-03 |
2.49e-04 |
0.00e+00 |
\(\mathrm{TRAC}\) |
3.34e-14 |
3.31e-14 |
3.27e-14 |
3.48e-14 |
3.86e-14 |
0.00e+00 |
2.4.7. VMIS_CIN2_CHAB#
Écarts |
\(\mathit{N1}\) |
\(\mathit{N5}\) |
\(\mathit{N25}\) |
\(\mathit{N125}\) |
\(\mathit{N625}\) |
\(\mathit{N3125}\) |
\({\mathit{V1}}_{N}\) |
3.32e-02 |
1.12e-02 |
2.57e-03 |
5.10e-04 |
8.52e-05 |
0.00e+00 |
\(\mathit{VMIS}\) |
9.04e-02 |
3.24e-02 |
7.45e-03 |
1.48e-03 |
2.49e-04 |
0.00e+00 |
\(\mathit{TRAC}\) |
3.72e-14 |
3.69e-14 |
3.69e-14 |
3.83e-14 |
4.75e-14 |
0.00e+00 |
2.4.8. MOHR_COULOMB#
Les variables internes ont les significations suivantes:
\(\mathit{V1}\) : déformation volumique plastique \({\epsilon}_{v}^{p}=\frac{1}{3}\mathit{trace}\left({\epsilon}^{p}\right)\)
\(\mathit{V2}\) : déformation volumique plastique \(\mid {\epsilon}_{d}^{p}\mid =\sqrt{\frac{2}{3}\left({\epsilon}^{p}-{\epsilon}_{v}^{p}I\right):\left({\epsilon}^{p}-{\epsilon}_{v}^{p}I\right)}\)
\(\mathit{V3}\) : indicateur de plasticité
Écart \(\left(\text{\%}\right)\) |
\(\mathrm{N1}\) |
\(\mathrm{N5}\) |
\(\mathrm{N25}\) |
\(\mathrm{N125}\) |
\(\mathrm{N625}\) |
\(\mathrm{N3125}\) |
\(V1\) |
1,34 |
0,57 |
0,16 |
0,03 |
0,006 |
0 |
\(V2\) |
1,34 |
0,57 |
0,16 |
0,03 |
0,006 |
0 |
\(V3\) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
\(\mathit{VMIS}\) |
6,41 |
2,34 |
0,57 |
0,11 |
0,02 |
0 |
\(\mathit{TRAC}\) |
2,06 |
0,87 |
0,24 |
0,05 |
0,009 |
0 |
2.4.9. MohrCoulombAS#
Les variables internes testées sont les suivantes:
\(V7\) : déformation volumique plastique \(\mid {\epsilon}_{d}^{p}\mid =\sqrt{\frac{2}{3}\left({\epsilon}^{p}-{\epsilon}_{v}^{p}I\right):\left({\epsilon}^{p}-{\epsilon}_{v}^{p}I\right)}\)
\(V8\) : déformation volumique plastique \({\epsilon}_{v}^{p}=\frac{1}{3}\mathit{trace}\left({\epsilon}^{p}\right)\)
\(V9\) : dissipation.
Écart \(\left(\text{\%}\right)\) |
\(\mathrm{N1}\) |
\(\mathrm{N5}\) |
\(\mathrm{N25}\) |
\(\mathrm{N125}\) |
\(\mathrm{N625}\) |
\(\mathrm{N3125}\) |
\(V7\) |
1.54 |
0.62 |
0.17 |
0.037 |
0.0026 |
0 |
\(V8\) |
1.54 |
0.62 |
0.17 |
0.037 |
0.0026 |
0 |
\(V9\) |
0.23 |
0.20 |
0.088 |
0.021 |
0.0053 |
0 |
\(\mathrm{VMIS}\) |
2.95 |
0.31 |
0.076 |
0.013 |
0.0015 |
0 |
\(\mathrm{TRAC}\) |
1.54 |
0.62 |
0.17 |
0.037 |
0.0026 |
0 |
2.5. REFERENCES#
P.LEVASSEUR: «Tierce Maintenance Applicative du code _Aster» Vérification de la robustesse et de la fiabilité de l’intégration de lois de comportement dans ASTER. Rapport PRINCIPIA RET.693.127.01 Décembre 2006.