1. Problème de référence#
1.1. Géométrie#
La géométrie (générée automatiquement dans la macro-commande SIMU_POINT_MAT[U4.51.12] est unique et simple : il s’agit en 3D d’un tétraèdre de côté 1, et en 2D d’un triangle de côté 1, aux nœuds desquels on applique des relations linéaires pour obtenir un état de contrainte et de déformation homogène.
1.2. Propriétés du matériau#
Les caractéristiques des matériaux sont définies pour chaque comportement via la commande DEFI_MATERIAU. Les caractéristiques élastiques et d’écrouissage isotrope retenues sont celles de l’acier standard \(\mathrm{16MND5}\) :
\(E=200000\mathrm{MPa}\) ,
\(\nu =0.3\) ,
\({\sigma}_{y}=437\mathrm{MPa}\) .
Les autres paramètres décrivant les lois ont été choisis à partir des cas test d’ASTER. Les deux tableaux suivants résument l’ensemble des lois du code ASTER considérées et les paramètres associés :
Modé. |
Lois Code_Aster |
Paramètres retenus |
Critères retenus pour le choix des paramètres |
A |
VMIS_ISOT_LINE |
\(\mathrm{SY}=437\mathrm{MPa}\), \(\mathrm{DSY}=\mathrm{2024MPa}\) |
Données matériau \(\mathrm{16MND5}\) |
B |
VMIS_ISOT_TRAC |
courbe de traction à \(100°C`du :math:`16\mathrm{MND5}\) |
Données matériau \(\mathrm{16MND5}\) |
C |
VMIS_CINE_LINE |
\(\mathrm{SY}=437\mathrm{MPa}\), \(\mathrm{DSY}=\mathrm{2024MPa}\) |
Données matériau \(\mathrm{16MND5}\) |
D |
VMIS_ECMI_LINE |
\(\mathrm{SY}=437\mathrm{MPa}\), \(\mathrm{DSY}=\mathrm{2024MPa}\)\({C}_{\mathrm{PRAG}}=1486.9\). |
Données matériau \(\mathrm{16MND5}\) |
E |
VMIS_ECMI_TRAC |
courbe de traction à \(100°C`du :math:`16\mathrm{MND5}\)\({C}_{\mathrm{PRAG}}=1486.9\). |
Données matériau \(\mathrm{16MND5}\) |
F |
VMIS_CIN1_CHAB |
\(\mathrm{SY}=437.0\); \(\mathrm{Rinf}=758.0\); \(b=2.3\); \(\mathrm{Cinf}=63767.0\) \(\mathrm{Gamma0}=341.0\) |
écrouissage: \(\mathrm{données16MND5}\) autres paramètres: ssnv101c |
G |
VMIS_CIN2_CHAB |
\(\mathrm{SY}=437.0\); \(\mathrm{Rinf}=758.0\); \(b=2.3\); \(\mathrm{C1inf}=63767.0/2.0\) \(\mathrm{C2inf}=63767.0/2.0\) \(\mathrm{Gam1}=341.0\) \(\mathrm{Gam2}=341.0\) |
Ecrouissagedonnées \(\mathrm{16MND5}\) autres paramètres ssnv101c Choix cinématique \(\mathrm{X1}+\mathrm{X2}=X\) de VMIS_CIN1_CHAB |
H |
VMIS_ISOT_PUIS |
\(\mathrm{SY}=437.0\); \(\mathrm{APUI}=1.3\) \(\mathrm{NPUI}=3.5\) |
|
J |
MOHR_COULOMB |
\(E=619,3\mathit{MPa}\) \(\nu =0,3\) \(\varphi =33°\) \(\psi =27°\) \({c}_{0}=1\mathit{MPa}\) |
Sable d’Hostun |
K |
MohrCoulombAS |
\(E=619.3\mathit{MPa}\) \(\nu =0.3\) \(C=1\mathit{kPa}\) \(\varphi =33°\) \(\psi =27°\) \({\theta}_{T}=20°\) \(a=0.25C/\tan(\varphi )\) \({h}_{C}=0\) |
Sable d’Hostun |
L |
NLH_CSRM |
YoungModulus=7.0e9 PoissonRatio=0.3 IsoCompElasLim=50.0e6 IsoTensElasLim=0.1e6 MCCSlopeCSL=0.5 NLHIndex=1.0 mBigoCritCoef=10.0 aBigoCritCoef=0.75 IncompIndex=15.0 Tau=2.0e2 PerzynaExpo=2.0 NLHModulusP=7.0e9/2.5 NLHModulusV=0.01*7.0e9 |
Fictif |
1.3. Conditions aux limites et chargements#
1.3.1. Caractéristiques des trajets de chargement#
Deux trajets de chargement ont été définis pour traiter les cas 3D et 2D plan. Ils sont communs à toutes les lois de comportement. Chacun d’eux respecte les critères suivants :
une déformation plastique cumulée, \(p\) , de 4 à 5 % sur l’ensemble du trajet,
une augmentation de 1% de \(p\) au cours d’une portion du trajet,
Ce calibrage a été mené sur la loi VMIS_ISOT_LINE, puis reporté sur les autres lois.
Le chargement proposé fait varier de manière découplée chaque composante du tenseur des déformations par étape successive. On propose un trajet cyclique en charge décharge en couvrant les états de traction et compression ainsi qu’une inversion des signes des cisaillements afin d’éprouver une large gamme de valeurs.
Schématiquement, il suit un parcours sur 8 segments \([O-A-B-C-O-C’-B’-A’-O]\) où la seconde partie du trajet [O-C’-B’-A’-O] est symétrique par rapport à l’origine de la première \([O-A-B-C-O]\) .
1.3.2. Application des sollicitations#
On se ramène à l’étude d’un point matériel (en utilisant la macro-commande SIMU_POINT_MAT) en sollicitant un élément de manière homogène en imposant:
en 3D, les 6 composantes du tenseur de déformation:
en 2D les trois composantes du tenseur:
Pour une écriture plus générale, le tenseur des déformations imposé sera décomposé en une partie hydrostatique et déviatorique sur des bases de cisaillement:
en 2D,
en3D
1.3.3. Description du trajet de déformation imposée en 2D#
Le trajet appliqué est décrit dans le tableau ci-dessous, les valeurs de déformations sont calibrées vis à vis du module élastique :
Temps |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Point de chargement |
\(A\) |
\(B\) |
\(C\) |
\(O\) |
\(C’\) |
\(B’\) |
\(A’\) |
\(O\) |
\({\varepsilon}_{xx}\times E\) |
675 |
1350 |
1350 |
0 |
-1350 |
-1350 |
-675 |
0 |
\({\varepsilon}_{yy}\times E\) |
675 |
450 |
1350 |
0 |
-1350 |
-450 |
-675 |
0 |
\({\varepsilon}_{xy}\times E/(1+\nu )\) |
450 |
180 |
0 |
0 |
0 |
-180 |
-450 |
0 |
\(P\) |
675 |
900 |
1350 |
-1350 |
-900 |
-675 |
0 |
|
\(D\) |
0 |
0 |
450 |
0 |
0 |
-450 |
0 |
0 |
Ce trajet est illustré par le graphe suivant:
1.3.4. Description du trajet de déformation imposée en 3d#
Le trajet appliqué est décrit dans le tableau ci-dessous, les valeurs de déformations appliquées sont calibrées vis à vis du module élastique :
N° segment |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Segment |
\(0-A\) |
\(A-B\) |
\(B-C\) |
\(O\) |
\(C’\) |
\(B’\) |
\(A’\) |
\(O\) |
\({\varepsilon}_{xx}\times E\) |
787.5 |
1050 |
350 |
0 |
-350 |
-1050 |
-787.5 |
0 |
\({\varepsilon}_{yy}\times E\) |
525.0 |
-175 |
-350 |
0 |
350 |
175 |
525 |
0 |
\({\varepsilon}_{zz}\times E\) |
262.5 |
700 |
-525 |
0 |
525 |
-700 |
-262.5 |
0 |
\({\varepsilon}_{xy}\times E/(1+\nu )\) |
700 |
350 |
1050 |
0 |
-1050 |
-350 |
-700 |
0 |
\({\varepsilon}_{xz}\times E/(1+\nu )\) |
-350 |
350 |
700 |
0 |
-700 |
-350 |
700 |
0 |
\({\varepsilon}_{yz}\times E/(1+\nu )\) |
0 |
700 |
-350 |
0 |
350 |
-700 |
0 |
0 |
\(P\) |
525 |
525 |
-175 |
0 |
175 |
-525 |
-525 |
0 |
\(\mathrm{d1}\) |
262.5 |
525 |
525 |
0 |
-525 |
-525 |
-262.5 |
0 |
\(\mathrm{d2}\) |
262.5 |
-175 |
350 |
0 |
-350 |
175 |
-262.5 |
0 |
Ce trajet est illustré par le graphe suivant :
1.4. Conditions initiales#
Contraintes et déformations nulles.