2. Solution analytique

Introduisons d’abord les notations suvantes:

(2.1)\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{c}A=K+\frac{4}{3}G\\ B=K-\frac{2}{3}G\\ C=2\left(K+\frac{G}{3}\right)\end{array}\end{split}\]

Avec \(K=\frac{E}{3\left(1-2\nu \right)}\) et \(G=\frac{E}{2\left(1+\nu \right)}\) les modules de compressibilité et de cisaillement, respectivement.

Soit \(C\) le tenseur d’éalsticité de Hooke, on aura avec l’hypothèse \({{\varepsilon}}_{yy}={{\varepsilon}}_{xx}\) :

(2.2)\[\begin{split}C.d{\varepsilon}=\lbrace \begin{array}{c}Bd{{\varepsilon}}_{zz}+Cd{{\varepsilon}}_{xx}\\ Bd{{\varepsilon}}_{zz}+Cd{{\varepsilon}}_{xx}\\ Ad{{\varepsilon}}_{zz}+2Bd{{\varepsilon}}_{xx}\end{array}\end{split}\]

On notera pour simplifier la contrainte verticale à l’instant \(+\) \({\sigma}^{+}={\sigma}_{zz}^{+}\) , de sorte que le critère de Rankine s’écrit:

(2.3)\[{\sigma}^{+}\le {\sigma}_{t}\]

On a par ailleurs:

(2.4)\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}^{\text{préd}}={\sigma}^{-}+n.C.d{\varepsilon}\\ {\sigma}^{+}={\sigma}^{-}+n.C.\left(d{\varepsilon}-d\lambda n\right)={\sigma}^{\text{préd}}-\underset{\Delta {\sigma}_{C}}{\underset{⏟}{d\lambda n.C.n}}\end{array}\end{split}\]

Avec \(n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\) et où:

(2.5)\[d\lambda =\frac{{⟨{\sigma}^{\mathit{préd}}-{\sigma}_{t}⟩}_{+}}{A}\]

D’après la loi d’écoulement associée, on a aussi:

(2.6)\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{c}d{{\varepsilon}}_{zz}^{P}=d\lambda =d{{\varepsilon}}_{v}^{P}\\ {e}^{P}=\frac{2}{3}d\lambda \end{array}\end{split}\]

Comme \(n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\) , on obtient:

(2.7)\[\Delta {\sigma}_{C}=d\lambda A\]

La combinaison des équations (), () et () nous donne la contrainte \({\sigma}_{zz}^{+}\) . Les équations () et () nous donnent la norme de la déformation plastique déviatorique \({e}^{P}\) .

Essayons d’obtenir maintenant l’expression de la déformation élastique horizontale \({{\varepsilon}}_{xx}^{\text{élas}}\) .

Latéralement, on a la condition \({\sigma}_{xx}^{+}={P}_{0}\) , soit:

(2.8)\[{\sigma}_{xx}^{\text{préd}}-\Delta {\sigma}_{xx,C}={P}_{0}\]

Avec \(\Delta {\sigma}_{xx,C}=d\lambda B\)

On obtient alors en utilisant l’équation ():

(2.9)\[{\sigma}_{xx}^{-}+Cd{{\varepsilon}}_{xx}^{\text{élas}}+Bd{{\varepsilon}}_{zz}-Bd\lambda ={P}_{0}\]

D’où l’incrément de déformation élastique horizontale:

(2.10)\[d{{\varepsilon}}_{xx}^{\text{élas}}=\frac{{P}_{0}-{\sigma}_{xx}^{-}+B\left(d\lambda -d{{\varepsilon}}_{zz}\right)}{C}\]