Solution analytique
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Introduisons d'abord les notations suvantes:

.. math::
    :label: eq-1

    \lbrace \begin{array}{c}A=K+\frac{4}{3}G\\ B=K-\frac{2}{3}G\\ C=2\left(K+\frac{G}{3}\right)\end{array}

Avec :math:`K=\frac{E}{3\left(1-2\nu \right)}` et :math:`G=\frac{E}{2\left(1+\nu \right)}` les modules de compressibilité et de cisaillement, respectivement.

Soit :math:`C` le tenseur d'éalsticité de Hooke, on aura avec l'hypothèse :math:`{{\varepsilon}}_{yy}={{\varepsilon}}_{xx}` :

.. math::
    :label: eq-2

    C.d{\varepsilon}=\lbrace \begin{array}{c}Bd{{\varepsilon}}_{zz}+Cd{{\varepsilon}}_{xx}\\ Bd{{\varepsilon}}_{zz}+Cd{{\varepsilon}}_{xx}\\ Ad{{\varepsilon}}_{zz}+2Bd{{\varepsilon}}_{xx}\end{array}

On notera pour simplifier la contrainte verticale à l'instant :math:`+` :math:`{\sigma}^{+}={\sigma}_{zz}^{+}` , de sorte que le critère de Rankine s'écrit:

.. math::
    :label: eq-3

    {\sigma}^{+}\le {\sigma}_{t}

On a par ailleurs:

.. math::
    :label: eq-4

    \lbrace \begin{array}{c}{\sigma}^{\text{préd}}={\sigma}^{-}+n.C.d{\varepsilon}\\ {\sigma}^{+}={\sigma}^{-}+n.C.\left(d{\varepsilon}-d\lambda n\right)={\sigma}^{\text{préd}}-\underset{\Delta {\sigma}_{C}}{\underset{⏟}{d\lambda n.C.n}}\end{array}

Avec :math:`n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)` et où:

.. math::
    :label: eq-5

    d\lambda =\frac{{⟨{\sigma}^{\mathit{préd}}-{\sigma}_{t}⟩}_{+}}{A}

D'après la loi d'écoulement associée, on a aussi:

.. math::
    :label: eq-6

    \lbrace \begin{array}{c}d{{\varepsilon}}_{zz}^{P}=d\lambda =d{{\varepsilon}}_{v}^{P}\\ {e}^{P}=\frac{2}{3}d\lambda \end{array}

Comme :math:`n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)` , on obtient:

.. math::
    :label: eq-7

    \Delta {\sigma}_{C}=d\lambda A

La combinaison des équations (), () et () nous donne la contrainte :math:`{\sigma}_{zz}^{+}` . Les équations () et () nous donnent la norme de la déformation plastique déviatorique :math:`{e}^{P}` .

Essayons d'obtenir maintenant l'expression de la déformation *élastique*  horizontale :math:`{{\varepsilon}}_{xx}^{\text{élas}}` .

Latéralement, on a la condition :math:`{\sigma}_{xx}^{+}={P}_{0}` , soit:


.. math::
    :label: eq-8

    {\sigma}_{xx}^{\text{préd}}-\Delta {\sigma}_{xx,C}={P}_{0}

Avec :math:`\Delta {\sigma}_{xx,C}=d\lambda B`

On obtient alors en utilisant l'équation ():

.. math::
    :label: eq-9

    {\sigma}_{xx}^{-}+Cd{{\varepsilon}}_{xx}^{\text{élas}}+Bd{{\varepsilon}}_{zz}-Bd\lambda ={P}_{0}

D'où l'incrément de déformation élastique horizontale:

.. math::
    :label: eq-10

    d{{\varepsilon}}_{xx}^{\text{élas}}=\frac{{P}_{0}-{\sigma}_{xx}^{-}+B\left(d\lambda -d{{\varepsilon}}_{zz}\right)}{C}