2. Solution de référence#
Le coefficient de poisson étant nul, on doit retrouver une compression uniforme à chacun des 4 étages de la structure. Autrement dit pour un étage donné, le déplacement de la structure est proportionnel à la position selon \(X\) et il dépend de la Pression qui varie suivant \(Y\) . Le déplacement selon \(Y\) ne dépend que linéairement de \(Y\) car la pression imposée \({\mathit{Press}}_{y}\) est constante.
On a donc pour tous les points de la structure le déplacement qui vaut:
\({\mathit{Depl}}_{X}(X,Y)=(2-X)\frac{{\mathit{Press}}_{x}(Y)}{E}\) éq 2.1-1
\({\mathit{Depl}}_{Y}(Y)=-Y\frac{{\mathit{Press}}_{y}}{E}\) éq 2.1-2
2.1. Calcul de l’énergie de la structure#
Soit \({p}_{x}=10\text{MPa}\) et \({p}_{y}=10\text{MPa}\) dans les cas avec contact, \({p}_{y}=0\text{MPa}\) dans les cas sans contact. Le tenseur des contraintes solution analytique est:
\(\sigma ={\sigma}_{xx}(y){e}_{x}\otimes {e}_{x}-{p}_{y}{e}_{y}\otimes {e}_{y}\)
où on a posé:
\({\sigma}_{xx}(y)=\lbrace \begin{array}{c}0\text{pour}y<\frac{1}{2},\\ -{p}_{x}\text{pour}y\in \left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right[,\\ -2{p}_{x}\text{pour}y\in \left[\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right[,\\ -3{p}_{x}\text{pour}y\in \left[\frac{5}{2},\frac{7}{2}\right[,\\ -4{p}_{x}\text{pour}y\ge \frac{7}{2},\end{array}\)
Soit \(\Omega =[0,2]\times [0,4]\) le domaine occupé par le solide. L’énergie de la structure est définie par:
\({E}^{e}=\frac{1}{2}{\int}_{\Omega}\sigma :\epsilon \mathit{dS}\)
Puisque \(\nu =0\) , on a \(\epsilon =\frac{1}{E}\sigma\) . D’où:
\(\sigma :\epsilon =\frac{1}{E}\left({\sigma}_{xx}{(y)}^{2}+{p}_{y}^{2}\right)\)
On a donc:
\({E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}\underset{0}{\overset{2}{\int}}\left(\underset{0}{\overset{4}{\int}}\left({\sigma}_{xx}{(y)}^{2}+{p}_{y}^{2}\right)\mathit{dy}\right)\mathit{dx}\)
Soit:
\({E}^{e}=\frac{1}{E}\left(\underset{\frac{1}{2}}{\overset{\frac{3}{2}}{\int}}{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{\frac{3}{2}}{\overset{\frac{5}{2}}{\int}}4{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{\frac{5}{2}}{\overset{\frac{7}{2}}{\int}}9{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{\frac{7}{2}}{\overset{4}{\int}}16{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{0}{\overset{4}{\int}}{p}_{y}^{2}\mathit{dy}\right)\)
On a donc, pour \({p}_{x}\) et \({p}_{x}\) exprimés en MPa:
\({E}^{e}=\frac{1}{E}\left(22{p}_{x}^{2}+4{p}_{y}^{2}\right)\)
Ce résultat est valable dans le cas des contraintes planes et des déformations planes. Dans le cas 3D, l’épaisseur choisie est 1 m. L’expression de l’énergie est identique, mais les unités sont modifiées. On a alors, en contraintes planes et en déformations planes, avec contact:
\({E}^{e}=2,6\times {10}^{7}\text{MJ}\times {\text{m}}^{-1}\) ,
en 3D avec contact:
\({E}^{e}=2,6\times {10}^{7}\text{MJ}\) ,
en contraintes planes et en déformations planes, sans contact:
\({E}^{e}=2,2\times {10}^{7}\text{MJ}\times {\text{m}}^{-1}\) ,
en 3D, sans contact:
\({E}^{e}=2,2\times {10}^{7}\text{MJ}\) .
2.2. Calcul de la norme L2du déplacement#
Le champ de déplacement solution analytique est
\(u=\frac{{\sigma}_{xx}(y)}{E}(2-x){e}_{x}-\frac{{p}_{y}}{E}y{e}_{y},\)
La norme \({L}^{2}\) du déplacement est définie par:
\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}^{2}={\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}\mathit{dS}\)
On a:
\({\Vert u\Vert }^{2}=\frac{{{\sigma}_{xx}(y)}^{2}}{{E}^{2}}{(2-x)}^{2}-\frac{{p}_{y}^{2}}{{E}^{2}}{y}^{2}\)
On a donc:
\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}^{2}=\frac{1}{{E}^{2}}\underset{0}{\overset{4}{\int}}\left(\underset{0}{\overset{2}{\int}}\left[{{\sigma}_{xx}(y)}^{2}{(2-x)}^{2}-{p}_{y}^{2}{y}^{2}\right]\mathit{dx}\right)\mathit{dy}\)
Soit:
\({\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}^{2}=\frac{1}{{E}^{2}}\underset{0}{\overset{4}{\int}}\left(\frac{8}{3}{{\sigma}_{xx}(y)}^{2}-2{p}_{y}^{2}{y}^{2}\right)\mathit{dy}.\)
D’où:
\({\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}^{2}=\frac{1}{{E}^{2}}\left[\frac{8}{3}\left(\underset{\frac{1}{2}}{\overset{\frac{3}{2}}{\int}}{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{\frac{3}{2}}{\overset{\frac{5}{2}}{\int}}4{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{\frac{5}{2}}{\overset{\frac{7}{2}}{\int}}9{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{\frac{7}{2}}{\overset{4}{\int}}16{p}_{x}^{2}\mathit{dy}\right)+2\underset{0}{\overset{4}{\int}}{p}_{y}^{2}{y}^{2}\mathit{dy}\right].\)
Et finalement:
\({\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}^{2}=\frac{1}{{E}^{2}}\left(\frac{176}{3}{p}_{x}^{2}+\frac{128}{3}{p}_{y}^{2}\right).\)
Soit:
\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\frac{1}{E}\sqrt{\frac{176}{3}{p}_{x}^{2}+\frac{128}{3}{p}_{y}^{2}}.\)
Ce résultat est valable dans le cas des contraintes planes et des déformations planes. Dans le cas 3D, l’épaisseur choisie est 1 m. L’expression de la norme \({L}^{2}\) du déplacement est identique, mais les unités sont modifiées.
On a alors, en contraintes planes et en déformations planes, avec contact:
\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}\approx 1,00664459137{\text{m}}^{2}\)
en 3D avec contact:
\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}\approx 1,00664459137{\text{m}}^{\frac{5}{2}}\)
en contraintes planes et en déformations planes, sans contact:
\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}\approx 0,765941686205{\text{m}}^{2}\)
en 3D, sans contact:
\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}\approx 0,765941686205{\text{m}}^{\frac{5}{2}}\)