Solution de référence
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Le coefficient de poisson étant nul, on doit retrouver une compression uniforme à chacun des 4 étages de la structure. Autrement dit pour un étage donné, le déplacement de la structure est proportionnel à la position selon :math:`X` et il dépend de la Pression qui varie suivant :math:`Y` . Le déplacement selon :math:`Y` ne dépend que linéairement de :math:`Y` car la pression imposée :math:`{\mathit{Press}}_{y}` est constante.

On a donc pour tous les points de la structure le déplacement qui vaut:


.. _RefEquation 2.1-1:

:math:`{\mathit{Depl}}_{X}(X,Y)=(2-X)\frac{{\mathit{Press}}_{x}(Y)}{E}`                         éq 2.1-1


.. _RefEquation 2.1-2:

:math:`{\mathit{Depl}}_{Y}(Y)=-Y\frac{{\mathit{Press}}_{y}}{E}`         éq 2.1-2


Calcul de l'énergie de la structure
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Soit :math:`{p}_{x}=10\text{MPa}` et :math:`{p}_{y}=10\text{MPa}` dans les cas avec contact, :math:`{p}_{y}=0\text{MPa}` dans les cas sans contact. Le tenseur des contraintes solution analytique est:

:math:`\sigma ={\sigma}_{xx}(y){e}_{x}\otimes {e}_{x}-{p}_{y}{e}_{y}\otimes {e}_{y}`

où on a posé:

:math:`{\sigma}_{xx}(y)=\lbrace \begin{array}{c}0\text{pour}y<\frac{1}{2},\\ -{p}_{x}\text{pour}y\in \left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right[,\\ -2{p}_{x}\text{pour}y\in \left[\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right[,\\ -3{p}_{x}\text{pour}y\in \left[\frac{5}{2},\frac{7}{2}\right[,\\ -4{p}_{x}\text{pour}y\ge \frac{7}{2},\end{array}`

Soit :math:`\Omega =[0,2]\times [0,4]` le domaine occupé par le solide. L'énergie de la structure est définie par:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{2}{\int}_{\Omega}\sigma :\epsilon \mathit{dS}`

Puisque :math:`\nu =0` , on a :math:`\epsilon =\frac{1}{E}\sigma` . D'où:

:math:`\sigma :\epsilon =\frac{1}{E}\left({\sigma}_{xx}{(y)}^{2}+{p}_{y}^{2}\right)`

On a donc:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}\underset{0}{\overset{2}{\int}}\left(\underset{0}{\overset{4}{\int}}\left({\sigma}_{xx}{(y)}^{2}+{p}_{y}^{2}\right)\mathit{dy}\right)\mathit{dx}`

Soit:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{E}\left(\underset{\frac{1}{2}}{\overset{\frac{3}{2}}{\int}}{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{\frac{3}{2}}{\overset{\frac{5}{2}}{\int}}4{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{\frac{5}{2}}{\overset{\frac{7}{2}}{\int}}9{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{\frac{7}{2}}{\overset{4}{\int}}16{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{0}{\overset{4}{\int}}{p}_{y}^{2}\mathit{dy}\right)`

On a donc, pour :math:`{p}_{x}` et :math:`{p}_{x}` exprimés en MPa:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{E}\left(22{p}_{x}^{2}+4{p}_{y}^{2}\right)`

Ce résultat est valable dans le cas des contraintes planes et des déformations planes. Dans le cas 3D, l'épaisseur choisie est 1 m. L'expression de l'énergie est identique, mais les unités sont modifiées. On a alors, en contraintes planes et en déformations planes, avec contact:

:math:`{E}^{e}=2,6\times {10}^{7}\text{MJ}\times {\text{m}}^{-1}` ,

en 3D avec contact:

:math:`{E}^{e}=2,6\times {10}^{7}\text{MJ}` ,

en contraintes planes et en déformations planes, sans contact:

:math:`{E}^{e}=2,2\times {10}^{7}\text{MJ}\times {\text{m}}^{-1}` ,

en 3D, sans contact:

:math:`{E}^{e}=2,2\times {10}^{7}\text{MJ}` .


Calcul de la norme L2du déplacement
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Le champ de déplacement solution analytique est

:math:`u=\frac{{\sigma}_{xx}(y)}{E}(2-x){e}_{x}-\frac{{p}_{y}}{E}y{e}_{y},`

La norme :math:`{L}^{2}` du déplacement est définie par:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}^{2}={\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}\mathit{dS}`

On a:

:math:`{\Vert u\Vert }^{2}=\frac{{{\sigma}_{xx}(y)}^{2}}{{E}^{2}}{(2-x)}^{2}-\frac{{p}_{y}^{2}}{{E}^{2}}{y}^{2}`

On a donc:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}^{2}=\frac{1}{{E}^{2}}\underset{0}{\overset{4}{\int}}\left(\underset{0}{\overset{2}{\int}}\left[{{\sigma}_{xx}(y)}^{2}{(2-x)}^{2}-{p}_{y}^{2}{y}^{2}\right]\mathit{dx}\right)\mathit{dy}`

Soit:

:math:`{\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}^{2}=\frac{1}{{E}^{2}}\underset{0}{\overset{4}{\int}}\left(\frac{8}{3}{{\sigma}_{xx}(y)}^{2}-2{p}_{y}^{2}{y}^{2}\right)\mathit{dy}.`

D'où:

:math:`{\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}^{2}=\frac{1}{{E}^{2}}\left[\frac{8}{3}\left(\underset{\frac{1}{2}}{\overset{\frac{3}{2}}{\int}}{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{\frac{3}{2}}{\overset{\frac{5}{2}}{\int}}4{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{\frac{5}{2}}{\overset{\frac{7}{2}}{\int}}9{p}_{x}^{2}\mathit{dy}+\underset{\frac{7}{2}}{\overset{4}{\int}}16{p}_{x}^{2}\mathit{dy}\right)+2\underset{0}{\overset{4}{\int}}{p}_{y}^{2}{y}^{2}\mathit{dy}\right].`

Et finalement:

:math:`{\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}^{2}=\frac{1}{{E}^{2}}\left(\frac{176}{3}{p}_{x}^{2}+\frac{128}{3}{p}_{y}^{2}\right).`

Soit:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\frac{1}{E}\sqrt{\frac{176}{3}{p}_{x}^{2}+\frac{128}{3}{p}_{y}^{2}}.`

Ce résultat est valable dans le cas des contraintes planes et des déformations planes. Dans le cas 3D, l'épaisseur choisie est 1 m. L'expression de la norme :math:`{L}^{2}` du déplacement est identique, mais les unités sont modifiées.

On a alors, en contraintes planes et en déformations planes, avec contact:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}\approx 1,00664459137{\text{m}}^{2}`

en 3D avec contact:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}\approx 1,00664459137{\text{m}}^{\frac{5}{2}}`

en contraintes planes et en déformations planes, sans contact:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}\approx 0,765941686205{\text{m}}^{2}`

en 3D, sans contact:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}\approx 0,765941686205{\text{m}}^{\frac{5}{2}}`