2. Modélisation A#
2.1. Caractéristiques de la modélisation#
Cette modélisation est réalisée sur un cube libre de se déformer. Le chargement est une température et un séchage qui varient au cours du temps.
# Liste commune pour l’ interpolation de la température et du séchage
L_evol = DEFI_LIST_REEL(VALE=( 0.0, 2.0, 10.0, 40.0, 50.0, 80.0, 100.0, 110.0, 200.0, ))
# Champ de Température
TFONC = DEFI_FONCTION(NOM_PARA=’INST’ ,
PROL_DROITE=’CONSTANT’ , PROL_GAUCHE=’CONSTANT’ ,
VALE=( 0.0, 10.0,
2.0, 10.0,
10.0, 40.0,
40.0, 50.0,
100.0, 20.0,
200.0, 50.0, ) , )
# Champ de Séchage
SFONC = DEFI_FONCTION(NOM_PARA=’INST’ ,
PROL_DROITE=’CONSTANT’ , PROL_GAUCHE=’CONSTANT’ ,
VALE=( 0.0, 0.30,
2.0, 0.30,
50.0, 0.60,
80.0, 0.30,
100.0, 0.70,
110.0, 0.70, ) , )
La figure représente l’évolution du chargement au cours du temps.
Figure 2.1-a: Évolution du chargement de température et de séchage.
2.2. Solution de référence#
Les équations sont issues de [R7.01.26].
2.2.1. Avancement chimique#
L’avancement chimique suit la loi suivante:
\(\frac{\partial A}{\partial t}\phantom{\rule{2em}{0ex}}=\phantom{\rule{2em}{0ex}}{a}_{0}.\exp\left[\frac{{E}_{a}}{R}\left(\frac{1}{{T}_{\mathit{ref}}}-\frac{1}{T}\right)\right]\frac{{⟨{S}_{r}-{S}_{r}^{0}⟩}_{+}}{\left(1-{S}_{r}^{0}\right)}{⟨{S}_{r}-A⟩}_{+}\) [éq2.2.1-1]
Cette équation dépend de la température et du séchage. Elle peut donc être vérifiée sans connaître l’état de déformation et de contrainte de l’échantillon.
2.2.2. Pression d’eau#
La pression capillaire est reliée au degré de saturation, par la relation:
\(\mathit{Pc}=-a.{S}_{r}.{({\mathit{Sr}}^{-b}-1)}^{1-1/b}\) [éq2.2.2-1]
Cette équation ne dépend que du séchage. Elle peut donc être vérifiée sans connaître l’état de déformation et de contrainte de l’échantillon.
2.2.3. Pression du gel#
La pression de gel effective suit la loi suivante
\({P}_{\mathit{gel}}={b}_{g}.{M}_{g}{⟨A.{V}_{g}-{⟨{A}_{0}.{V}_{g}+{b}_{g}\mathit{tr}({\epsilon}^{\mathit{total}})⟩}_{+}⟩}_{+}\) [éq2.2.3-1]
Cette équation dépend de l’avancement chimique et de la trace de la déformation. Elle ne peut donc être vérifiée qu’en connaissant l’état de déformation l’échantillon.
2.2.4. État mécanique de l’échantillon#
Pour résoudre les équations précédentes il faut déterminer les déformations. Les équation suivantes régissent le problème:
\({\epsilon}^{\text{e}}=\frac{1+{\nu}^{0}}{{E}^{0}}.{\sigma}^{\text{e}}-\frac{{\nu}^{0}}{{E}^{0}}\text{tr}({\sigma}^{\text{e}}).\mathit{Id}\)
avec:
\({\epsilon}^{\text{total}}={\epsilon}^{\text{e}}+{\epsilon}^{\text{fluage}}+{\epsilon}^{\text{vdt}}+{\epsilon}^{\text{ther}}\)
\({\sigma}^{\mathit{total}}={\sigma}^{\text{e}}-{P}_{\mathit{gel}}.\mathit{Id}-{P}_{c}.\mathit{Id}\)
On est dans le cas où \({\sigma}^{\mathit{total}}=0\) du fait des conditions aux limites. Les paramètres matériaux sont choisis de façon à ce que \({\epsilon}^{\text{fluage}}=0\) , \({\epsilon}^{\text{vdt}}=0\) , \({\epsilon}^{\text{ther}}=0\) .
On a donc \(\mathit{tr}({\epsilon}^{\text{total}})=\frac{3.(1-2.{\nu}^{0})}{{E}^{0}}.({P}_{\mathit{gel}}+{P}_{c})\) [éq2.2.4-1]
2.3. Grandeurs testées et résultats#
Pour l’avancement chimique, la variable interne correspondante est BR_AVCHI. La figure représente son évolution au cours du temps.
Instant |
Valeur de référence |
Précision |
10.00 |
4.981207356948E-03 |
1.0E-03 |
40.00 |
5.361979299970E-01 |
1.0E-03 |
50.00 |
5.924644217241E-01 |
1.0E-03 |
80.00 |
5.938195769343E-01 |
1.0E-03 |
100.00 |
5.938216310035E-01 |
1.0E-03 |
110.00 |
5.938338086705E-01 |
1.0E-03 |
200.00 |
7.000000000002E-01 |
1.0E-03 |
Figure 2.3-a: Avancement chimique, comparaison entre la solution théorique et celle obtenue par code_aster.
Pour la pression de gel, la variable interne correspondante est BR_PRGEL. La figure représente son évolution au cours du temps.
Instant |
Valeur de référence |
Précision |
40.00 |
2.101217954854E+06 |
1.0E-03 |
50.00 |
2.448598919982E+06 |
1.0E-03 |
80.00 |
2.460563938661E+06 |
1.0E-03 |
100.00 |
2.455008850947E+06 |
1.0E-03 |
110.00 |
2.455084251465E+06 |
1.0E-03 |
200.00 |
3.112433957654E+06 |
1.0E-03 |
Figure 2.3-b: Pression de gel, comparaison entre la solution théorique et celle obtenue par code_aster.
Pour la pression capillaire, la variable interne correspondante est BR_PRCAP. La figure représente son évolution au cours du temps.
Instant |
Valeur de référence |
Précision |
10.00 |
-2.810249099279E+06 |
1.0E-03 |
40.00 |
-2.529791246328E+06 |
1.0E-03 |
50.00 |
-2.400000000000E+06 |
1.0E-03 |
80.00 |
-2.861817604251E+06 |
1.0E-03 |
100.00 |
-2.142428528563E+06 |
1.0E-03 |
110.00 |
-2.142428528563E+06 |
1.0E-03 |
200.00 |
-2.142428528563E+06 |
1.0E-03 |
Figure 2.3-c : Pression de gel, comparaison entre la solution théorique et celle obtenue par code_aster.
Les grandeurstestées sont les déformations. Les noms des composantes du champ EPSI_ELGA sont EPXX, EPYY, EPZZ. La figure représente l’évolution de la trace des déformations au cours du temps. Compte tenue de la symétrie du problème les 3 déformations sont identiques, on a donc:
\(\mathit{EPXX}=\mathit{EPYY}=\mathit{EPZZ}=\mathit{Trace}(\mathit{Epsi})/3\)
Instant |
Valeur de référence |
Précision |
10.00 |
-4.391014217624E-05 |
1.0E-03 |
40.00 |
-6.696457679281E-06 |
2.1E-03 |
50.00 |
7.593581247263E-07 |
1.6E-02 |
80.00 |
-6.269588524836E-06 |
1.0E-03 |
100.00 |
4.884067537256E-06 |
3.2E-03 |
110.00 |
4.885245670348E-06 |
1.0E-03 |
200.00 |
1.515633482955E-05 |
1.0E-03 |
Figure 2.3-d: Trace des déformations, comparaison entre la solution théorique et celle obtenue par code_aster.