2. Solution de référence#

2.1. Données entrées et paramètres matériaux#

Tableau 2.1 Jeu de paramètres en entrée#

Nom

Symbole

Valeur

Unité

Coefficient de Poisson

\(\nu\)

0.2

Coefficient d’écrouissage en traction

p

1.5

–

Résistance en compression

\(f_{c}\)

40

MPa

Distance inter-fissure

\(L_{F}\)

200

mm

Les valeurs des paramètres internes sont calculées à l’aide du fib Model Code ([fib-2010]) à l’aide Tableau 2.1. Les équations sont extraites de [R7.01.47].

(2.1)#\[ E = 21500*\left(\frac{f_{c}}{10}\right)^\left(1/3\right) \quad;\quad \nu = 0.2 \quad;\quad G_{F}=73*f_{c}^{0.18} \quad;\quad f_{t}=0.3*\left(f_{c}-8\right)^\left(2/3\right)\]

Ces équations permettent de retrouver les valeurs du module Young, de \(f_{t}\) et \(G_{F}\). La valeur de \(\sigma^{0}\) est fixée à \(f_c/3\) (voir Tableau 1.1).

DEFI_MATER_GC évalue le dernier paramètre interne de la loi à partir des valeurs précédentes à savoir l’énergie consommée normalisée \(\bar{\omega}\) définie par :

(2.2)#\[ \bar{\omega}=\frac{2E_{C}\,G_{F}}{L_{F}\,f_{t}^2}\]

Avec le module Young en traction confiné défini par :

(2.3)#\[ E_{c}=\lambda+2\mu=\frac{\left(1-\nu\right)\,E}{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}\]

2.2. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

En traction confinée, la contrainte SIXX suit la relation suivante :

(2.4)#\[ \sigma_{t}=A\left(a\right)\,E_{c}\,\varepsilon_{t}\]

avec \(A\left(a\right)\) la rigidité en traction défini par :

(2.5)#\[ A\left(a\right)=\frac{1-a}{e\left(a\right)} \quad;\quad e\left(a\right) = 1-a+\frac{\bar{\omega}}{2}\left[m_{0}a+\left(D_{1}-m_{0}\right)a^{r}\right]\]

\(m_{0}\), \(D_{1}\) et r s’exprime uniquement à l’aide du paramètre p de la loi ENDO_LOCA_TC :

(2.6)#\[ m_{0}=\frac{3\pi}{2}\left(p+2\right)^{-3/2}, D_{1}=\frac{3\pi}{4}\sqrt{1+p}\quad;\quad r= \frac{2\left(D_{1}-1\right)-m_{0}}{2-m_{0}}\]

Ces équations permettent de calculer la déformation à la limite en traction :

(2.7)#\[ \varepsilon_{e}=\frac{f_{t}}{E_{c}}\]

Puis la déformation attendue pour un endommagement a de 0.1 :

(2.8)#\[ \varepsilon_{t}=\frac{\sigma_{t}}{A\left(a\right)\,E_{c}}\]

sachant que la contrainte effective est aussi définie par :

(2.9)#\[ \sigma_{t}=\left(1-a\right)\,f_{t}\]

En phase de compression, l’endommagement a ne varie pas. On choisit un rapport 15 entre la déformation finale de compression \(\varepsilon_{c}\) et la déformation finale de traction \(\varepsilon_{t}\). Après une décharge élastique de raideur \(E_c\, A(a)\), la déformation devient négative. La contrainte et l’endommagement s’écrivent alors:

(2.10)#\[ \sigma=C\left(c\right)\,E_c\,\varepsilon\]
(2.11)#\[ c = max \left( 1 \, , \, - \, \frac{E_c \, \varepsilon}{\sigma^0} \right)\]

où \(C\left(c\right)\) est la rigidité résiduelle normalisée de compression avec c l’endommagement en compression. Elle s’écrit :

(2.12)#\[ C\left(c\right)=\frac{1}{c}\left[1+\left(\frac{f_{c}}{\sigma^{0}}-1\right)\tanh\left(\frac{c-1}{\frac{f_{c}}{\sigma^{0}}-1}\right)\right] \quad ;\quad f_{c}>\sigma^{0}\]

Ces équations permettent d’évaluer les contraintes, les déformations et les variables internes du modèle.

2.3. Données post-traitées et testées#

Pour le post-traitement en traction, l’énergie de déformation correspondant aux contraintes élastiques de traction appelée ENERTRAC suit l’équation suivante :

(2.13)#\[ ENERTRAC = 1/2*E_{c}*\varepsilon_{t}^{2}\]

HISTTRAC correspond à a et ENDOTRAC correspond à \(1-A\left(a\right)\). Pour la compression, ENDOCOMP désigne \(1-C\left(c\right)\) et les énergies sont :

(2.14)#\[ ENERTRAC = 1/2*E_{c}*max\left(\varepsilon_{c},0\right)^{2}\]
(2.15)#\[ ENERCOMP=1/2*E_{c}*min\left(\varepsilon_{c},0\right)^{2}\]

2.4. Incertitudes sur la solution#

Néant.

2.5. Références bibliographiques#

[Lorentz-2025]

Lorentz, E., 2025. Construction, justification théorique et implantation numérique du modèle d’endommagement local de béton ENDO_LOCA_TC, Note EDF R&D 6125-1723-2024-03235-FR.

[fib-2010]

fib, 2010. Model Code for Concrete Stuctures. Fédération Internationale du Béton. éd. Berlin: Ernst & Sohn.