Solution de référence
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Données entrées et paramètres matériaux
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.. _v6.04.272-tab-données-entrée:

.. csv-table:: Jeu de paramètres en entrée
    :header: "Nom", "Symbole","Valeur","Unité"
    :widths: 50, 20, 20, 20

    Coefficient de Poisson, :math:`\nu`, 0.2,
    Coefficient d'écrouissage en traction, p, 1.5, --
    Résistance en compression, :math:`f_{c}`, 40, MPa
    Distance inter-fissure, :math:`L_{F}`, 200, mm

Les valeurs des paramètres internes sont calculées à l'aide du fib Model Code ([fib-2010]_) à l'aide :numref:`v6.04.272-tab-données-entrée`. Les équations sont extraites de [:ref:`R7.01.47 <R7.01.47>`]. 

.. math::
    :label: fib-2010

     E = 21500*\left(\frac{f_{c}}{10}\right)^\left(1/3\right) \quad;\quad \nu = 0.2 \quad;\quad G_{F}=73*f_{c}^{0.18} \quad;\quad f_{t}=0.3*\left(f_{c}-8\right)^\left(2/3\right)

Ces équations permettent de retrouver les valeurs du module Young, de :math:`f_{t}` et :math:`G_{F}`. La valeur de :math:`\sigma^{0}` est fixée à :math:`f_c/3`  (voir :numref:`v6.04.272-tab-para`).

DEFI_MATER_GC évalue le dernier paramètre interne de la loi à partir des valeurs précédentes à savoir l’énergie consommée normalisée :math:`\bar{\omega}` définie par :

.. math::
    :label: energie-normalisée

     \bar{\omega}=\frac{2E_{C}\,G_{F}}{L_{F}\,f_{t}^2}

Avec le module Young en traction confiné défini par :

.. math::
    :label: E-traction-confiné

     E_{c}=\lambda+2\mu=\frac{\left(1-\nu\right)\,E}{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}


Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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En traction confinée, la contrainte SIXX suit la relation suivante :

.. math::
    :label: sigma-traction

     \sigma_{t}=A\left(a\right)\,E_{c}\,\varepsilon_{t}

avec :math:`A\left(a\right)` la rigidité en traction défini par : 

.. math::
    :label: Rigidité-traction

     A\left(a\right)=\frac{1-a}{e\left(a\right)} \quad;\quad e\left(a\right) = 1-a+\frac{\bar{\omega}}{2}\left[m_{0}a+\left(D_{1}-m_{0}\right)a^{r}\right]


:math:`m_{0}`, :math:`D_{1}` et r s'exprime uniquement à l'aide du paramètre p de la loi ENDO_LOCA_TC :

.. math::
    :label: Para-rigidité-traction

     m_{0}=\frac{3\pi}{2}\left(p+2\right)^{-3/2}, D_{1}=\frac{3\pi}{4}\sqrt{1+p}\quad;\quad r= \frac{2\left(D_{1}-1\right)-m_{0}}{2-m_{0}}

Ces équations permettent de calculer la déformation à la limite en traction :

.. math::
    :label: def-elas

     \varepsilon_{e}=\frac{f_{t}}{E_{c}}
     
Puis la déformation attendue pour un endommagement a de 0.1 :

.. math::
    :label: def-endo

     \varepsilon_{t}=\frac{\sigma_{t}}{A\left(a\right)\,E_{c}}

sachant que la contrainte effective est aussi définie par :

.. math::
    :label: cont-effective

     \sigma_{t}=\left(1-a\right)\,f_{t}

En phase de compression, l'endommagement a ne varie pas. On choisit un rapport 15 entre la déformation finale de compression :math:`\varepsilon_{c}` et la déformation finale de traction :math:`\varepsilon_{t}`. Après une décharge élastique de raideur :math:`E_c\, A(a)`, la déformation devient négative. La contrainte et l'endommagement s'écrivent alors:

.. math::
    :label: sig-compr

     \sigma=C\left(c\right)\,E_c\,\varepsilon
     
.. math::
    :label: endo-compr

     c = max \left( 1 \, , \, - \, \frac{E_c \, \varepsilon}{\sigma^0} \right)

où :math:`C\left(c\right)` est la rigidité résiduelle normalisée de compression avec c l'endommagement en compression. Elle s'écrit :

.. math::
    :label: Rigidité-compression

     C\left(c\right)=\frac{1}{c}\left[1+\left(\frac{f_{c}}{\sigma^{0}}-1\right)\tanh\left(\frac{c-1}{\frac{f_{c}}{\sigma^{0}}-1}\right)\right] \quad ;\quad f_{c}>\sigma^{0}


Ces équations permettent d'évaluer les contraintes, les déformations et les variables internes du modèle.

Données post-traitées et testées
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Pour le post-traitement en traction, l'énergie de déformation correspondant aux contraintes élastiques de traction appelée ENERTRAC suit l'équation suivante :

.. math::
    :label: ener-trac

     ENERTRAC = 1/2*E_{c}*\varepsilon_{t}^{2}

HISTTRAC correspond à a et ENDOTRAC correspond à :math:`1-A\left(a\right)`. Pour la compression, ENDOCOMP désigne :math:`1-C\left(c\right)` et les énergies sont :

.. math::
    :label: ener-trac-comp

     ENERTRAC = 1/2*E_{c}*max\left(\varepsilon_{c},0\right)^{2}
     
.. math::
    :label: ener-comp

     ENERCOMP=1/2*E_{c}*min\left(\varepsilon_{c},0\right)^{2}


Incertitudes sur la solution
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Néant.


Références bibliographiques
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.. [Lorentz-2025] Lorentz, E., 2025. Construction, justification théorique et implantation numérique du modèle d’endommagement local de béton ENDO_LOCA_TC, Note EDF R&D 6125-1723-2024-03235-FR.
.. [fib-2010] fib, 2010. Model Code for Concrete Stuctures. Fédération Internationale du Béton. éd. Berlin: Ernst & Sohn.