1. Problème de référence#

Des oscillations des pressions de contact peuvent apparaître dans certains cas, notamment pour des structures où l’interface coupe des pentaèdres, sous un chargement non-uniforme.

Cela est dû au non-respect de la LBB condition [bib3] [bib4]. Ce phénomène d’oscillations est comparable à celui rencontré en incompressibilité [bib5]. Physiquement, dans le cas du contact, cela revient à vouloir imposer le contact en trop de points de l’interface (sur-contrainte), rendant le système hyperstatique. Pour le relâcher, il faut restreindre l’espace des multiplicateurs de Lagrange, comme cela est fait dans [bib6] pour les conditions de Dirichlet avec X-FEM. De tels algorithme présentent des segments P0, qui ralentissent la convergence. Un bon algorithme doit minimiser l’apparition de tels segments. L’algorithme proposé par Moës [bib6] pour réduire les oscillations est adapté au cas 3D (algorithme version 1). Cet algorithme a fait l’objet d’une amélioration pour le rendre plus physique et plus efficace (algorithme version 2). Une comparaison des deux versions est effectuée.

Il est à noter que ces oscillations parasites ne sont pas reproductibles dans la version actuelle de Code_Aster: l’un des deux algorithmes est systématiquement choisi (le 2 est utilisé par défaut), et même une surcharge du code pour n’en utiliser aucun amènerait un pivot nul. Nous les illustrons dans cette documentation par des résultats issus d’une autre formulation (formulation aux arêtes [bib7]), aujourd’hui résorbée.

Pour des hexaèdres ou des quadrangles coupés horizontalement, il n’y a pas de segments P0.

1.1. Géométrie#

La structure est un parallélépipède droit à base carrée et sain. Les dimensions du bloc sont: \(\mathrm{LX}=5m\) , \(\mathrm{LY}=20m\) et \(\mathrm{LZ}=20m\) . Il ne comporte aucune fissure [ Figure 1.1-1 ].

L’interface est introduite par des fonctions de niveaux (level sets) directement dans le fichier de commandes à l’aide de l’opérateur DEFI_FISS_XFEM [U4.82.08]. L’interface est présente au sein de la structure par le biais de sa représentation par les level sets. La level set normale (\(\mathrm{LSN}\) ) permet de définir une interface plane non-penchée qui traverse complètement les éléments, par l’équation suivante:

\(\mathrm{LSN}=Z-17.5\) éq 1.1-1

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Figure 1.1-1: Géométrie et positionnement de l’interface

1.2. Propriétés du matériau#

Module d’Young : \(E=100\mathit{GPa}\) .

Coefficient de Poisson : \(\nu =0\) .

1.3. Conditions aux limites et chargements#

La face inférieure est encastrée.

La face supérieure est soumise à une pression parabolique ayant pour expression:

\(\mathrm{pression}=(100-\frac{{(Y-10)}^{2}}{2})\frac{E}{{10}^{6}}\mathrm{Pa}\) éq 1.3-1

Les déplacements suivant les axes \(x\) et \(y\) sont bloqués pour les nœuds de la surface supérieure.

1.4. Bibliographie#

  1. Massin P., Ben Dhia H., Zarroug M.: Éléments de contacts dérivés d’une formulation hybride continue, Manuel de référence du Code_Aster , [R5.03.52]

  1. Massin P., Geniaut S.: Méthode X-FEM, Manuel de référence du Code_Aster , [R7.02.12]

  1. Babuška I.: The finite element method with lagrangian multipliers, Numerische Math 20, 179‑192, 1973

  1. Barbosa H., Hugues T.: Finite element method with lagrange multipliers on the boundary. Circumventing the Babuška-Brezzi condition, Comp. Meth. Applied Mech Engrg. 85 (1), 109‑128, 1991

  1. Chapelle D., Bathe K. J. : The Inf-sup test, Computers & Structures 47 (4/5), 537-545, 1993

  2. Moës N., Béchet E., Tourbier M.: Imposing Dirichlet boundary conditions in the extended finite element method, Int. J.Numer. Meth. Engng, 2006, Vol. 67(12), 1641-1699.

  3. Géniaut S., Massin P., Moës N., A stable 3D contact formulation using X-FEM, European Journal of Computational Mechanics, Vol.16, n°2, Pages 259-276 , 2007.