2. Modélisation A#

2.1. Caractéristiques du maillage#

La structure est maillée par une seule maille de type HEXA8. L’interface est donc présente au sein de cet élément par le biais des level sets.

2.2. Conditions aux limites#

Rappelons que le déplacement sous X-FEM est la somme d’un déplacement continu et d’un déplacement discontinu. Dans le cas d’une interface, sans fond de fissure, l’approximation du déplacement s’écrit de la façon suivante :

\({u}^{h}(x)=\sum_{i\in {N}_{n}(x)}{a}_{i}{\varphi}_{i}(x)+\sum_{j\in {N}_{n}(x)\cap {K}_{+}}{b}_{j}{\varphi}_{j}(x)\left(\text{-2}{\chi }_{-}\left(\mathit{lsn}(x)\right)\right)+\sum_{j\in {N}_{n}(x)\cap {K}_{-}}{b}_{j}{\varphi}_{j}(x)\left(2{\chi }_{+}\left(\mathit{lsn}(x)\right)\right)\)

Où:

\({a}_{i}\) et \({b}_{i}\) sont les degrés de liberté de déplacement au nœud \(i\) ,

\({\phi }_{i}\) les fonctions de forme associées au nœud \(i\) ,

\({N}_{n}(x)\) est l’ensemble des nœuds dont le support contient le point \(x\) ,

\({K}_{-}\) est l’ensemble des nœuds situés dans le domaine \(\mathit{lsn}(x)<0\) , et dont le support est entièrement coupé par l’interface,

\({K}_{+}\) est l’ensemble des nœuds situés dans le domaine \(\mathit{lsn}(x)>0\) , et dont le support est entièrement coupé par l’interface,

\({\chi }_{-}(x)\) est une fonction caractéristique de domaine définie par \({\chi }_{-}(x)=\lbrace \begin{array}{c}1\text{si}x<0\\ 0\text{si}x\ge 0\end{array}\) ,

\({\chi }_{+}(x)\) est une fonction caractéristique de domaine définie par \({\chi }_{+}(x)=\lbrace \begin{array}{c}0\text{si}x<0\\ 1\text{si}x\ge 0\end{array}\) ,

\(\mathit{lsn}(x)\) est la valeur de la level-set normale au point \(x\)

Pour plus de détails, se référer à la documentation de référence X-FEM [R7.02.12].

Vu que les nœuds près de l’interface, c’est-à-dire ici les 8 nœuds du maillage sont enrichis par des degrés de liberté supplémentaires, les conditions aux limites s’écrivent un peu différemment. Cela est relatif à l’enrichissement des fonctions de formes classiques [R7.02.12] par les fonctions caractéristiques de domaines \({\chi }_{-}(x)\) et \({\chi }_{+}(x)\) .

Imposer un déplacement nul sur les nœuds de la face inférieure revient à écrire une relation linéaire entre les degrés de liberté. Pour chaque nœud, on impose \({a}_{\mathit{ix}}=0\) (idem suivant \(y\) et \(z\) ) quand l’interface n’est pas conforme aux nœuds du maillage. Toutefois si l’interface était conforme aux nœuds, imposer le déplacement nul sur l’interface, sous-tend également une hypothèse vis-à-vis du saut de déplacement à travers l’interface. Cela introduit une relation supplémentaire due à la continuité/saut du déplacement. Il convient alors d’imposer la condition suivante sur les degrés de liberté de discontinuité \({\mathrm{2b}}_{\mathit{ix}}=\Delta u=0\) .

Pour les nœuds de la face supérieure, on impose un déplacement suivant \(z\) valant \({10}^{-6}\) et nul suivant les deux autres directions, c’est-à-dire \({a}_{\mathit{ix}}=0\) , \({a}_{\mathit{iy}}=0\) et \({a}_{\mathit{iz}}={10}^{-6}\) .

Ces relations sont imposées automatiquement lorsque l’on utilise le mot-clé DDL_IMPO sur un nœud X-FEM. Par exemple, l’imposition du déplacement suivant \(X\) nul du nœud X-FEM \(\mathit{N1}\) se fait donc de la manière classique:

DDL_IMPO=_F(NOEUD=”N1”,DX=0)

2.3. Résolution analytique#

La solution d’un tel problème est bien sûr évidente. On voit bien que mécaniquement parlant, les deux parties de la structure vont se détacher: la partie inférieure aura un déplacement nul et la partie supérieure aura un mouvement d’ensemble égal au déplacement imposé (voir []).

Figure 2.3-a : États initial et final de la structure

La solution analytique est alors la suivante: tous les déplacements suivant \(x\) et \(y\) sont nuls, tous les déplacements suivant \(z\) en dessous de la level set sont nuls et tous les déplacements suivant \(z\) au dessus de la level set sont égaux au déplacement imposé \({u}_{z}\) au sommet de la structure.

2.4. Grandeurs testées et résultats#

L’opérateur POST_MAIL_XFEM permet de mailler les fissures représentées par la méthode X-FEM. L’opérateur POST_CHAM_XFEM, permet ensuite d’exporter les résultats X-FEM sur ce nouveau maillage. Ces deux opérateurs ne sont à utiliser que de façon postérieure au calcul à des vues de post-traitement. Ils permettent de générer des nœuds juste en dessous et au dessus de l’interface et d’exhiber leurs déplacements.

On teste donc les valeurs du déplacement juste en dessous et au dessus de l’interface après convergence des itérations de l’opérateur STAT_NON_LINE. On vérifie que l’on retrouve bien les valeurs déterminées au [§ 2.3 ].

Identification	Référence	Tolérance
\(\mathit{DX}\) pour tous les nœuds juste en dessous de l’interface	0.00	1.0E-16
\(\mathit{DY}\) pour tous les nœuds juste en dessous de l’interface	0.00	1.0E-16
\(\mathit{DZ}\) pour tous les nœuds juste en dessous de l’interface	0.00	1.0E-16
\(\mathit{DX}\) pour tous les nœuds juste au dessus de l’interface	0.00	1.0E-16
\(\mathit{DY}\) pour tous les nœuds juste au dessus de l’interface	0.00	1.0E-16
\(\mathit{DZ}\) pour tous les nœuds juste au dessus de l’interface	1.0E-6	1.0E-9%

Pour tester tous les nœuds en une seule fois, on teste le MINIMUM et le MAXIMUM de la colonne.

2.5. Commentaires#

On remarque la discontinuité du champ de déplacements en traversant l’interface qui est possible grâce à l’enrichissement des éléments avec le degré de liberté Heaviside.