2. Solutions de référence#

On note \(p=-\sigma_m=-\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})/3\) et \(\varepsilon_v=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\) la pression et la déformation volumique, en adoptant la convention de signe de la mécanique des milieux continus. La relation de ces deux quantités est différenciée selon le régime élastique ou plastique dans la première charge monotone.

2.1. Méthode de calcul avec le modèle CAM_CLAY#

Cela concerne les modélisations C et D.

  • Régime élastique : Lorsque \(p\) est inférieure à la pression de consolidation \(2P_{cr}^0-P_{trac}\) :

\[p=P_0\exp(-k_0\varepsilon_v^e) + \frac{K_0}{k_0}\left(\exp(-k_0\varepsilon_v^e)-1\right) \Longrightarrow -\varepsilon_v^e = \frac{1}{k_0}\ln\left(\frac{k_0p+K_{cam}}{k_0P_0+K_{cam}}\right), \quad \text{avec}\quad k_0 = \frac{1+e_0}{\kappa}\]

Dans ce cas, la déformation totale est égale à la déformation élastique (\(\varepsilon_v=\varepsilon_v^e\)).

  • Régime plastique : Lorsque \(p\) est supérieure à la pression de consolidation :

\[p=2p_{cr}^0\exp(-k\varepsilon^p_v) - P_{trac} \Longrightarrow -\varepsilon_v^p = \frac{1}{k}\ln\left(\frac{p+P_{trac}}{2P_{cr}^0}\right),\quad\text{avec}\quad k=\frac{1+e_0}{\lambda-\kappa}\]

Dans cette situation, il faut prendre en compte la déformation plastique dans le calcul de la déformation totale (\(\varepsilon_v=\varepsilon_v^e+\varepsilon_v^p\)).

2.2. Solution de référence avec le modèle MCC#

On traite ici de la modélisation G.

  • Régime élastique : Lorsque \(p\) est inférieure à la limite en compression isotrope \(2p_{c0}+\sigma_0\) :

\[p=\frac{K}{\kappa} \left(\exp\left(-\kappa\varepsilon_v^e\right)-1\right)\Longrightarrow -\varepsilon_v^e = \frac{1}{\kappa}\ln\left(1+\kappa\frac{p}{K}\right)\]

  • Régime plastique : Lorsque \(p\) est supérieure à la limite en compression isotrope :

\[p=2p_{c0}\exp\left(-\beta\varepsilon_v^p\right) + \sigma_0\Longrightarrow -\varepsilon_v^p = \frac{1}{\beta}\ln\left(\frac{p-\sigma_0}{2p_{c0}}\right)\]

2.3. Solution de référence avec le modèle CSSM#

On traite ici de la modélisation H.

  • Régime élastique : Lorsque \(p\) est inférieure à la limite en compression isotrope \(2p_{c0}(1-\eta)\) :

\[p=-K\varepsilon_v^e\Longrightarrow -\varepsilon_v^e = \frac{p}{K}\]

  • Régime plastique : Lorsque \(p\) est supérieure à la limite en compression isotrope :

\[p=2p_{c0}\left(\exp\left(-\beta\varepsilon_v^p\right)-\eta\exp\left(2\omega\varepsilon_v^p\right)\right)\Longrightarrow -\varepsilon_v^p = F(p)\]

où la fonction \(F(p)\) n’admet pas d’expression explicite simple dans le cas général où \(\eta>0\) et \(\omega>0\).

2.4. Grandeurs et résultats de référence#

L’essai est homogène. On teste la composante des déformations \(\varepsilon_{xx}\) et la déformation plastique volumique \(\varepsilon_v^p\) à différents instants.

2.5. Incertitudes sur la solution#

Aucune sur les modélisations C, D et G. La solution dans la modélisation H est quant à elle approchée numériquement à l’aide de la commande fsolve du package scipy.optimize (avec ses paramètres par défaut).