2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul#
Le problème consiste à analyser la réponse d’une masse mobile soumise à une vitesse initiale non nulle et venant choquer contre une paroi qui suit une loi de comportement de type flambage.
L’équation d’équilibre du système s’écrit:
La résolution de se déroule en plusieurs phases: avant flambage de la paroi, chargement après flambage, déchargement après flambage et vol libre.
2.1.1. Première phase#
Avant le flambage, la force de réaction vaut: \({F}_{\mathrm{ext}}=-{K}_{1}x\)
La solution de l’équation se met sous la forme suivante: \(x(t)={A}_{1}\sin{\omega}_{1}t+{B}_{1}\cos{\omega}_{1}t\)
Avec: \({\omega}_{1}^{2}=\frac{K+{K}_{1}}{M}\)
En tenant compte des conditions initiales: \(x(0)=0\) et \(\frac{\partial x}{\partial t}(0)={v}_{0}\)
On identifie: \({A}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{\omega}_{1}}\) et \({B}_{1}=0\)
Soit: \(x(t)=\frac{{v}_{0}}{{\omega}_{1}}\sin{\omega}_{1}t\)
On atteint le seuil limite de flambage \({F}_{\mathrm{fl}}\) à l’instant \({t}_{\mathrm{fl}}\) , tel que: \(x({t}_{\mathrm{fl}})={d}_{\mathrm{fl}}=\frac{{F}_{\mathrm{fl}}}{{K}_{1}}\) .
D’où: \({t}_{\mathrm{fl}}=\frac{1}{{\omega}_{1}}\mathrm{Arc}\sin(\frac{{F}_{\mathrm{fl}}{\omega}_{1}}{{K}_{1}{v}_{0}})\)
et \(\frac{\partial x}{\partial t}({t}_{\mathrm{fl}})={v}_{\mathrm{fl}}\)
2.1.2. Deuxième phase#
La phase suivante est la phase de chargement après flambage ; la force de réaction est constante tant que la vitesse reste positive. Cette force de réaction vaut: \({F}_{\mathrm{ext}}=-{F}_{\mathrm{seuil}}\) et la solution de l’équation s’écrit: \(x(t)={A}_{2}\sin{\omega}_{0}t+{B}_{2}\cos{\omega}_{0}t-\frac{{F}_{\mathrm{seuil}}}{M{\omega}_{0}^{2}}\)
Avec: \({\omega}_{0}^{2}=\frac{K}{M}\)
Comme \({\omega}_{0}^{2}\ll 1\) , on peut effectuer un développement limité des fonctions trigonométriques.
Soit: \(x(t)={A}_{21}{t}^{2}+{B}_{21}t+{C}_{21}\) .
En tenant compte des conditions initiales \(x({t}_{\mathrm{fl}})={d}_{\mathrm{fl}}\) et \(\frac{\partial x}{\partial t}({t}_{\mathrm{fl}})={v}_{\mathrm{fl}}\) , on obtient:
\({A}_{21}=(\frac{{v}_{\mathrm{fl}}{t}_{\mathrm{fl}}}{2}-\frac{{d}_{\mathrm{fl}}}{2}-\frac{{F}_{\mathrm{seuil}}^{2}}{4M}){\omega}_{0}^{2}-\frac{{F}_{\mathrm{seuil}}}{2M}\)
\({B}_{21}={v}_{\mathrm{fl}}+\frac{{F}_{\mathrm{seuil}}{t}_{\mathrm{fl}}}{M}+({d}_{\mathrm{fl}}{t}_{\mathrm{fl}}-\frac{{v}_{\mathrm{fl}}{t}_{\mathrm{fl}}^{2}}{2}){\omega}_{0}^{2}\)
\({C}_{21}={d}_{\mathrm{fl}}-\frac{{F}_{\mathrm{seuil}}{t}_{\mathrm{fl}}^{2}}{2M}-{v}_{\mathrm{fl}}{t}_{\mathrm{fl}}-\frac{{d}_{\mathrm{fl}}{t}_{\mathrm{fl}}^{2}}{2}{\omega}_{0}^{2}\)
L’instant auquel la vitesse s’annule est: \({t}_{m}=-\frac{{B}_{21}}{2{A}_{21}}\)
En négligeant les termes en \({\omega}_{0}^{2}\) , on déduit: \({t}_{m}={t}_{\mathrm{fl}}+\frac{M{v}_{\mathrm{fl}}}{{F}_{\mathrm{seuil}}}\) ,
et le déplacement maximal vaut: \(x({t}_{m})={d}_{m}\)
Cela permet d’obtenir la déformation plastique cumulée: \({d}_{p}={d}_{m}-\frac{{F}_{\mathrm{seuil}}}{{K}_{2}}\)
2.1.3. Troisième phase#
Cette phase correspond au déchargement, la force de réaction vaut: \({F}_{\mathrm{ext}}=-{K}_{2}(x-{d}_{p})\)
La solution de l’équation s’écrit: \(x(t)={A}_{3}\sin{\omega}_{2}t+{B}_{3}\cos{\omega}_{2}t+\frac{{K}_{2}{d}_{p}}{K+{K}_{2}}\)
Avec: \({\omega}_{2}^{2}=\frac{K+{K}_{2}}{M}\)
En tenant en compte des conditions initiales \(x({t}_{m})={d}_{m}\) et \(\frac{\partial x}{\partial t}({t}_{m})=0\) ,
on obtient: \({A}_{3}=({d}_{m}-\frac{{K}_{2}{d}_{p}}{K+{K}_{2}})\sin{\omega}_{2}{t}_{m}\) et \({B}_{3}=({d}_{m}-\frac{{K}_{2}{d}_{p}}{K+{K}_{2}})\cos{\omega}_{2}{t}_{m}\) .
La force de réaction s’annule lorsque le déplacement du point matériel atteint la valeur de la déformation plastique cumulée \({d}_{p}\) .
Comme \(K\ll {K}_{2}\) , on fait l’approximation suivante: \(\frac{{K}_{2}{d}_{p}}{K+{K}_{2}}\approx {d}_{p}\) .
Ainsi, l’instant \({t}_{d}\) qui correspond à l’annulation de la force de réaction est tel que:
\(x({t}_{d})={d}_{p}={A}_{3}\sin{\omega}_{2}{t}_{d}+{B}_{3}\cos{\omega}_{2}{t}_{d}+{d}_{p}\)
Soit: \(\sin{\omega}_{2}{t}_{m}\sin{\omega}_{2}{t}_{d}+\cos{\omega}_{2}{t}_{m}\cos{\omega}_{2}{t}_{d}=\cos{\omega}_{2}({t}_{d}-{t}_{m})=0\) .
D’où: \({t}_{d}={t}_{m}+\frac{\pi}{2{\omega}_{2}}\) .
2.1.4. Quatrième phase#
La phase suivante correspond à la phase de vol libre \({F}_{\mathrm{ext}}=0\) .
La solution de l’équation s’écrit: \(x(t)={A}_{4}\sin{\omega}_{0}t+{B}_{4}\cos{\omega}_{0}t\)
Les conditions initiales sont:
\(x({t}_{d})={d}_{p}\) et \(\frac{\partial x}{\partial t}({t}_{d})={v}_{d}={\omega}_{2}({x}_{m}-\frac{{K}_{2}{d}_{p}}{K+{K}_{2}})\sin{\omega}_{2}({t}_{m}-{t}_{d})\)
Ce qui donne:
\({A}_{4}={d}_{p}\sin{\omega}_{0}{t}_{d}+\frac{{v}_{d}}{{\omega}_{0}}\cos{\omega}_{0}{t}_{d}\)
\({B}_{4}={d}_{p}\cos{\omega}_{0}{t}_{d}-\frac{{v}_{d}}{{\omega}_{0}}\sin{\omega}_{0}{t}_{d}\)
Comme \({\omega}_{0}^{2}\ll 1\) , en effectuant un développement limité des fonctions trigonométriques jusqu’à l’ordre 2, la solution se met sous la forme suivante:
\(x(t)={A}_{41}{t}^{2}+{B}_{41}t+{C}_{41}\)
Avec:
\({A}_{41}=\frac{{\omega}_{0}^{2}}{2}[{v}_{d}{t}_{d}-{d}_{p}(1-\frac{{\omega}_{0}^{2}{t}_{d}^{2}}{2})]\)
\({B}_{41}={d}_{p}{t}_{d}{\omega}_{0}^{2}+{v}_{d}(1-\frac{{\omega}_{0}^{2}{t}_{d}^{2}}{2})\)
\({C}_{41}={d}_{p}(1-\frac{{\omega}_{0}^{2}{t}_{d}^{2}}{2})-{v}_{d}{t}_{d}\)
En négligeant les termes en \({\omega}_{0}^{2}\) , on obtient:
\(x(t)={v}_{d}t+{d}_{p}-{v}_{d}{t}_{d}\) .
Et on déduit l’instant \({t}_{0}\) de passage à la position initiale (\(x=0\) ).
Soit: \({t}_{0}={t}_{d}-\frac{{d}_{p}}{{v}_{d}}\) .
2.1.5. Solution de référence de la modélisation C#
Les conditions initiales choisies permettent d’avoir une énergie cinétique de \(4J\) , qui doit conduire à une compression totale de \(6.5m\) et une compression résiduelle de \(3.1m\) .
2.2. Grandeurs et résultats de référence#
Pour les modélisations A et B
On se propose de tester les grandeurs suivantes:
\({t}_{\mathrm{fl}}\) : instant de début de flambage;
\({d}_{p}\) : déformation plastique cumulée;
\({t}_{0}\) : instant de repassage à la position initiale (après flambage et décharge).
Compte tenu des valeurs numériques des données d’entrée, on obtient:
\({t}_{\mathrm{fl}}=\frac{\pi}{6}\) (exprimé en secondes)
\({d}_{p}=3\) (exprimée en mètres)
\({t}_{0}=\frac{\pi}{6}+2\sqrt{3}+\frac{\pi +6}{\sqrt{2}}\) (exprimé en secondes)
Pour la modélisation C
Compression maximale \(max(d)=6.5\) (exprimée en mètres)
Compression résiduelle \({d}_{p}=3.1\) (exprimée en mètres)
Vitesse de rebond après le choc \({V}_{\mathit{rebond}}=-1.303840481\) (exprimée en mètres par seconde)
Pour la modélisation D
La non régression est testée sans valeur de référence analytique.
2.3. Incertitudes sur la solution#
La solution de référence est analytique (au second ordre près).