2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Solution analytique pour chacun des 4 cas de chargement :
En théorie de poutres, dans le cadre des hypothèses d’Euler-Bernouilli, la solution du problème de référence est celle d’une poutre droite soumise à des efforts et moments à une extrémité et encastrée à l’autre extrémité:
Traction :
\[\boldsymbol{u}_{x_1} = F_{x_1} \frac{x}{ES} \boldsymbol{e}_{x1}\]
Torsion :
\[\boldsymbol{\theta}_{x_1} = M_{x_1} \frac{x}{GJ} \boldsymbol{e}_{x1}\]
Flexion autour de \(O_{y1}\) :
\[\begin{split}\boldsymbol{u}_{z} & &= - M_{y} \frac{x^2}{2 EI_{y_1}} \boldsymbol{e}_{z} \\
\boldsymbol{\theta}_{y_1} & = (-\partial_x \boldsymbol{u}_{z} \cdot \boldsymbol{e}_{z} ) \boldsymbol{e}_{y_1} & = M_{y} \frac{x}{EI_{y_1}} \boldsymbol{e}_{y1} \\\end{split}\]
Flexion autour de \(O_{z}\) :
\[\begin{split}\boldsymbol{u}_{y_1} & & = M_{z} \frac{x^2}{2 EI_{z}} \boldsymbol{e}_{y_1} \\
\boldsymbol{\theta}_{z} & = (\partial_x \boldsymbol{u}_{y_1} \cdot \boldsymbol{e}_{y_1} ) \boldsymbol{e}_{z} & = M_{z} \frac{x}{EI_{z}} \boldsymbol{e}_{z} \\\end{split}\]
Note
Aucun chargement ne fait intervenir d’effort tranchant, les cas de chargement
faisant intervenir la flexion étant en flexion pure.
Ainsi, les solutions de référence sont aussi valable pour la cinématique de
Timoshenko (en plus de la cinématique d’Euler-Bernouilli), comme indiqué en
[V3.01.102].
Ceci implique que les mêmes solutions de référence peuvent être utilisées pour
les éléments POU_D_E et TUYAU_3M.
2.2. Résultats de référence
Traction :
\[u_{x1}(P_2) = F_{x_1} \frac{L}{ES}\]
donc
\[\begin{split}\begin{cases}
u_{x}(P_2) & = F_{x_1} \frac{L}{ES} \cos(30)\\
u_{y}(P_2) & = F_{x_1} \frac{L}{ES} \sin(30)\\
\end{cases}\end{split}\]
Torsion :
\[\theta_{x1}(P_2) = M_{x_1} \frac{L}{GJ}\]
donc
\[\begin{split}\begin{cases}
\theta_{x}(P_2) & = M_{x_1} \frac{L}{GJ} \cos(30)\\
\theta_{y}(P_2) & = M_{x_1} \frac{L}{GJ} \sin(30)\\
\end{cases}\end{split}\]
Flexion autour de \(O_{y_1}\) :
\[\theta_{y_1}(P_2) = M_{y_1} \frac{L}{EI_{y_1}}\]
donc
\[\begin{split}\begin{cases}
\theta_{x}(P_2) & = - M_{y_1} \frac{L}{EI_{y_1}} \sin(30)\\
\theta_{y}(P_2) & = M_{y_1} \frac{L}{EI_{y_1}} \cos(30)\\
u_z(P_2) & = - M_{y_1} \frac{L^2}{2EI_{y_1}}
\end{cases}\end{split}\]
Flexion autour de \(O_{z}\):
\[u_{y_1} = M_{z} \frac{L^2}{2 EI_{z}}\]
donc
\[\begin{split}\begin{cases}
u_x(P_2) & = - M_{z} \frac{L^2}{2 EI_{z}} \sin(30) \\
u_y(P_2) & = M_{z} \frac{L^2}{2 EI_{z}} \cos(30) \\
\theta_{z}(P_2) & = M_{z} \frac{L}{EI_{z}} \\
\end{cases}\end{split}\]
Remarque:
L’utilisation de la liaison coques poutres pour l’encastrement et pour les chargements permet de rester dans le cadre de l’hypothèse d’Euler-Bernouilli (cf [R3.03.06]). La solution analytique précédente est donc bien la solution de référence du problème.