Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Solution analytique pour chacun des 4 cas de chargement :

En théorie de poutres, dans le cadre des hypothèses d’Euler-Bernouilli, la solution du problème de référence est celle d’une poutre droite soumise à des efforts et moments à une extrémité et encastrée à l’autre extrémité:

**Traction** :

.. math::

    \boldsymbol{u}_{x_1} = F_{x_1} \frac{x}{ES} \boldsymbol{e}_{x1}

**Torsion** :

.. math::

    \boldsymbol{\theta}_{x_1} = M_{x_1} \frac{x}{GJ} \boldsymbol{e}_{x1}


**Flexion autour de** :math:`O_{y1}` :

.. math::

    \boldsymbol{u}_{z} & &= - M_{y} \frac{x^2}{2 EI_{y_1}} \boldsymbol{e}_{z} \\
    \boldsymbol{\theta}_{y_1} & = (-\partial_x \boldsymbol{u}_{z} \cdot \boldsymbol{e}_{z} ) \boldsymbol{e}_{y_1} & = M_{y} \frac{x}{EI_{y_1}} \boldsymbol{e}_{y1} \\


**Flexion autour de** :math:`O_{z}` :

.. math::

    \boldsymbol{u}_{y_1} & & = M_{z} \frac{x^2}{2 EI_{z}} \boldsymbol{e}_{y_1} \\
    \boldsymbol{\theta}_{z} & = (\partial_x \boldsymbol{u}_{y_1} \cdot \boldsymbol{e}_{y_1} ) \boldsymbol{e}_{z} & = M_{z} \frac{x}{EI_{z}} \boldsymbol{e}_{z} \\

.. note::

    Aucun chargement ne fait intervenir d'effort tranchant, les cas de chargement
    faisant intervenir la flexion étant en flexion **pure**.
    Ainsi, les solutions de référence sont aussi valable pour la cinématique de
    Timoshenko (en plus de la cinématique d'Euler-Bernouilli), comme indiqué en
    [:ref:`V3.01.102 <v3.01.102>`].

    Ceci implique que les mêmes solutions de référence peuvent être utilisées pour
    les éléments :code:`POU_D_E` et :code:`TUYAU_3M`.

Résultats de référence
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**Traction** :

.. math::

    u_{x1}(P_2) = F_{x_1} \frac{L}{ES}

donc

.. math::

    \begin{cases}
    u_{x}(P_2) & = F_{x_1} \frac{L}{ES} \cos(30)\\
    u_{y}(P_2) & = F_{x_1} \frac{L}{ES} \sin(30)\\
    \end{cases}

**Torsion** :

.. math::

    \theta_{x1}(P_2) = M_{x_1} \frac{L}{GJ}

donc

.. math::

    \begin{cases}
    \theta_{x}(P_2) & = M_{x_1} \frac{L}{GJ} \cos(30)\\
    \theta_{y}(P_2) & = M_{x_1} \frac{L}{GJ} \sin(30)\\
    \end{cases}


**Flexion autour de** :math:`O_{y_1}` :

.. math::

    \theta_{y_1}(P_2) = M_{y_1} \frac{L}{EI_{y_1}}

donc

.. math::

    \begin{cases}
    \theta_{x}(P_2) & = - M_{y_1} \frac{L}{EI_{y_1}} \sin(30)\\
    \theta_{y}(P_2) & = M_{y_1} \frac{L}{EI_{y_1}} \cos(30)\\
    u_z(P_2) & = - M_{y_1} \frac{L^2}{2EI_{y_1}}
    \end{cases}

**Flexion autour de** :math:`O_{z}`:

.. math::

    u_{y_1} = M_{z} \frac{L^2}{2 EI_{z}}

donc

.. math::

    \begin{cases}
    u_x(P_2) & = - M_{z} \frac{L^2}{2 EI_{z}} \sin(30) \\
    u_y(P_2) & =   M_{z} \frac{L^2}{2 EI_{z}} \cos(30) \\
    \theta_{z}(P_2) & = M_{z} \frac{L}{EI_{z}} \\
    \end{cases}

**Remarque:**

L’utilisation de la liaison coques poutres pour l’encastrement et pour les chargements permet de rester dans le cadre de l’hypothèse d’Euler-Bernouilli (cf [:ref:`R3.03.06 <R3.03.06>`]). La solution analytique précédente est donc bien la solution de référence du problème.


Incertitude sur la solution
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Solution analytique.