2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Dans le repère local de la poutre :

\(\frac{{\partial}^{2}{U}_{x}}{\partial {x}^{2}}+\frac{\rho}{E}{\omega}^{2}x=0\) avec \(\begin{array}{}{U}_{x}(0)=0\\ \frac{\partial {U}_{x}}{\partial x}(L)={\sigma}_{xx}(L)=0\end{array}\)

En intégrant l’équation différentielle précédente on obtient, dans le repère de la poutre :

\({U}_{x}(x)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2E}(x{L}^{2}-\frac{{x}^{3}}{3})\) \({U}_{y}={U}_{z}=0\)

Les déplacements de tous points de la poutre s’écrivent donc dans le repère global :

\(\begin{array}{}{U}_{x}(X,Y,Z)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2\sqrt{3}E}(r{L}^{2}-\frac{{r}^{3}}{3})\\ {U}_{y}(X,Y,Z)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2\sqrt{3}E}(r{L}^{2}-\frac{{r}^{3}}{3})\\ {U}_{z}(X,Y,Z)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2\sqrt{3}E}(r{L}^{2}-\frac{{r}^{3}}{3})\end{array}\)

avec \(r=\sqrt{{X}^{2}+{Y}^{2}+{Z}^{2}}\)

2.2. Résultats de référence

Valeurs des trois déplacements au centre de la section la plus éloignée de l’axe de rotation.