Solution de référence
=====================


Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
--------------------------------------------------------

Dans le repère local de la poutre :

:math:`\frac{{\partial}^{2}{U}_{x}}{\partial {x}^{2}}+\frac{\rho}{E}{\omega}^{2}x=0` avec :math:`\begin{array}{}{U}_{x}(0)=0\\ \frac{\partial {U}_{x}}{\partial x}(L)={\sigma}_{xx}(L)=0\end{array}`

En intégrant l'équation différentielle précédente on obtient, dans le repère de la poutre :

:math:`{U}_{x}(x)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2E}(x{L}^{2}-\frac{{x}^{3}}{3})` :math:`{U}_{y}={U}_{z}=0`

Les déplacements de tous points de la poutre s'écrivent donc dans le repère global :

:math:`\begin{array}{}{U}_{x}(X,Y,Z)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2\sqrt{3}E}(r{L}^{2}-\frac{{r}^{3}}{3})\\ {U}_{y}(X,Y,Z)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2\sqrt{3}E}(r{L}^{2}-\frac{{r}^{3}}{3})\\ {U}_{z}(X,Y,Z)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2\sqrt{3}E}(r{L}^{2}-\frac{{r}^{3}}{3})\end{array}`

avec :math:`r=\sqrt{{X}^{2}+{Y}^{2}+{Z}^{2}}`


Résultats de référence
----------------------

Valeurs des trois déplacements au centre de la section la plus éloignée de l'axe de rotation.