2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul#
Pour les deux cas de chargement, le ferraillage est calculé avec la méthode de Capra-Maury (commande CALC_FERRAILLAGE appelée par la commande COMBINAISON_FERRAILLAGE).
2.2. Grandeurs et résultats de référence#
Ce système est équivalent à une poutre encastrée et chargée en flexion à l’extrémité libre:
Figure 3. Représentation d’une poutre encastrée et chargée en flexion
Une première estimation des déplacements et des efforts peut donc être obtenue avec une modélisation d’Euler-Bernoulli:
Flèche: \(f=\frac{1}{3}\cdot \frac{F{L}^{3}}{EI}\) , tel que \(\mathit{EI}=30000\cdot {10}^{6}\times (\frac{{3,0}^{3}\cdot 0,3}{12})=20,25\cdot {10}^{9}N{m}^{2}\)
Soit:
\(f=\frac{1}{3}\cdot (\frac{{12,0}^{3}}{20,25\cdot {10}^{9}})\times F=2,84\cdot {10}^{-8}\times F\)
Cisaillement: \(V=F\)
Moment de flexion à l’encastrement: \(M=F\times L\)
Ainsi, on obtient les résultats suivants:
ShearLd1 |
ShearLd2 |
ShearLd3 |
|
F |
\(-1,5\cdot {10}^{6}N\) |
\(-3\cdot {10}^{6}N\) |
\(-4,5\cdot {10}^{6}N\) |
V |
\(1,5\cdot {10}^{6}N\) |
\(3\cdot {10}^{6}N\) |
\(4,5\cdot {10}^{6}N\) |
M |
\(-1,8\cdot {10}^{7}\mathit{Nm}\) |
\(-3,6\cdot {10}^{7}\mathit{Nm}\) |
\(-5,4\cdot {10}^{7}\mathit{Nm}\) |
f |
\(42,6\mathit{mm}\) |
\(85,2\mathit{mm}\) |
\(127,8\mathit{mm}\) |
Pour les cas avec chargement axial (tractLd et comprLd), le rétrécissement/allongement de la poutre s’obtient analytiquement comme suit:
Flèche: \(\Delta L=\frac{F\cdot L}{E\cdot S}\) , tel que \(\mathit{ES}=30000\cdot {10}^{6}\times 3\times 0,3=2,7\cdot {10}^{10}N\)
Soit:
\(\Delta L=4,44\cdot {10}^{-10}\times F\)
Effort normal sollicitant la poutre: \(N=-F\) (effort normal positif en compression).
Ainsi, on obtient les résultats suivants:
tractLd1 |
tractLd2 |
tractLd3 |
comprLd1 |
comprLd2 |
|
F |
\(+1,0\cdot {10}^{6}N\) |
\(+2,0\cdot {10}^{6}N\) |
\(+3,0\cdot {10}^{6}N\) |
\(-1,5\cdot {10}^{6}N\) |
\(-3,0\cdot {10}^{6}N\) |
N |
\(-1,0\cdot {10}^{6}N\) |
\(-2,0\cdot {10}^{6}N\) |
\(-3,0\cdot {10}^{6}N\) |
\(+1,5\cdot {10}^{6}N\) |
\(+3,0\cdot {10}^{6}N\) |
f |
\(+0,44\mathit{mm}\) |
\(+0,89\mathit{mm}\) |
\(+1,33\mathit{mm}\) |
\(-0,67\mathit{mm}\) |
\(-1,33\mathit{mm}\) |
Pour le calcul du ferraillage suivant la méthode de Capra Maury, on applique un résonnement analogique aux cas analytiques simples proposés dans le cas test relatif à cette méthode, à savoir ssls134.
2.3. Incertitudes sur la solution#
La solution est analytique. Les différences entre la solution analytique et la solution de référence en non-régression sont dues au fait que la poutre est assez peu élancée (rapport \(H/L\) élevé) et on s’approche donc des limites du modèle d’Euler-Bernoulli.