1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

On considère une plaque rectangulaire de dimensions:

  • épaisseur \(B=30\mathit{cm}\)

  • longueur \(H=3m\)

  • hauteur \(L=12m\)

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Figure 1. Géométrie de la plaque rectangulaire.

1.2. Propriétés du matériau#

Le béton est élastique isotrope avec les propriétés matériausuivantes :

  • \(E=30000N/{\mathit{mm}}^{2}\)

  • \(\nu =0.3\)

Pour le calcul du ferraillage (à l’Eurocode 2), on considérera le jeu de propriétés suivant :

  • Enrobage inférieur et supérieur \({c}_{inf}={c}_{\sup}=20\mathit{mm}\)

  • Résistance caractéristique à la compression du béton \({f}_{\mathit{ck}}=35\mathit{MPa}\)

  • Limite d’écrouissage caractéristique de l’acier \({f}_{\mathit{yk}}=450\mathit{MPa}\)

  • Type de diagramme (σ-ε): ‘B1’

  • Coefficient de sécurité de l’acier à l’ELU (Fondamental et Accidentel) \({\gamma}_{s}=1,15\)

  • Coefficient de sécurité du béton à l’ELU (Fondamental et Accidentel) \({\gamma}_{c}=1,5\)

  • Contrainte limite du béton à l’ELS Caractéristique \({\sigma}_{\text{c,lim}}=1,0\times 35=35\mathit{MPa}\)

  • Contrainte limite de l’acier à l’ELS Caractéristique \({\sigma}_{\text{s,lim}}=1,0\times 450=450\mathit{MPa}\)

  • Contrainte limite du béton à l’ELS Quasi Permanent \({\sigma}_{\text{c,lim,qp}}=1,0\times 35=35\mathit{MPa}\)

  • Coefficient d’équivalence acier-béton à l’ELS \({\alpha}_{E}=15,0\)

  • Classe de l’acier: ‘B’ / \({\alpha}_{\mathit{cc}}=1,0\)

  • \(\mathit{FERR}\text{\_}\mathit{SYME}='\mathit{NON}'\) / \(\mathit{FERR}\text{\_}\mathit{COMP}='\mathit{OUI}'\) / \(\mathit{EPURE}\text{\_}\mathit{CISA}='\mathit{NON}'\)

  • Masse volumique de l’acier \({\rho}_{\mathit{acier}}=7800\mathit{kg}/{m}^{3}\)

  • Ouverture maximale des fissures autorisée en face inférieure à l’ELS QP \({w}_{\text{max,inf}}=0,25\mathit{mm}\)

  • Ouverture maximale des fissures autorisée en face supérieure à l’ELS QP \({w}_{\text{max,sup}}=0,3\mathit{mm}\)

  • Coefficient de durée de chargement pour le calcul à l’ELS QP \({K}_{T}=0,4\)

  • Diamètre des barres suivant ‘X’ pour le calcul à l’ELS QP \({\varphi}_{X}=20,0\mathit{mm}\)

  • Diamètre des barres suivant ‘Y’ pour le calcul à l’ELS QP \({\varphi}_{Y}=25,0\mathit{mm}\)

1.3. Conditions aux limites et chargements#

La plaque est chargée dans son plan par une force de cisaillement \({F}_{Z}=-1,5\cdot {10}^{6}N\) dans le premier cas de charge (chargement nodal « shearLd1 » dans le fichier de commande). Ce cas de chargement sera testé à l’ELS QUASI PERMANENT.

Un deuxième cas de charge (chargement nodal « shearLd2 » dans le fichier de commande) est obtenu en appliquant le double de cette force, soit \({F}_{Z}=-3\cdot {10}^{6}N\) . Ce cas de chargement sera testé à l’ELS CARACTERISTIQUE.

Un troisième cas de charge (chargement nodal « shearLd3 » dans le fichier de commande) est obtenu en appliquant le triple de cette force, soit \({F}_{Z}=-4,5\cdot {10}^{6}N\) . Ce cas de chargement sera testé à l’ELU.

La plaque est ensuite chargée dans son plan par une force de traction \({F}_{Y}=1\cdot {10}^{6}N\) (chargement nodal « tractLd1 » dans le fichier de commande). Ce cas de chargement sera testé à l’ELS QUASI PERMANENT.

Un deuxième cas de charge (chargement nodal « tractLd2 » dans le fichier de commande) est obtenu en appliquant le double de cette force, soit \({F}_{Y}=2\cdot {10}^{6}N\) . Ce cas de chargement sera testé à l’ELS CARACTERISTIQUE.

Un troisième cas de charge (chargement nodal « tractLd3 » dans le fichier de commande) est obtenu en appliquant le triple de cette force, soit \({F}_{Y}=3\cdot {10}^{6}N\) . Ce cas de chargement sera testé à l’ELU.

La plaque est enfin chargée dans son plan par une force de compression \({F}_{Y}=-1,5\cdot {10}^{6}N\) dans un septième cas de charge (chargement nodal « comprLd1 » dans le fichier de commande). Ce cas de chargement sera testé à l’ELS CARACTERISTIQUE.

Un dernier cas de charge (chargement nodal « comprLd2 » dans le fichier de commande) est obtenu en appliquant le double de cette force, soit \({F}_{Y}=-3\cdot {10}^{6}N\) . Ce cas de chargement sera testé à l’ELU.

La plaque est encastrée sur le côté gauche, à l’extrémité opposée du point d’application de la force () ; ainsi, tous les degrés de liberté sont mis à zéro.

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Figure 2. Blocage et chargement pour les cas ‘shearLd’

1.4. Conditions initiales#

La structure est initialement au repos.