2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul#

On se place dans la théorie de LOVE-KIRCHHOFF pour le calcul de la solution analytique de ce problème.

La flèche dans le repère axisymétrique s’écrit :

\({u}_{x}=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{P}{8{\alpha}^{4}D}(2-{\mathrm{e}}^{\alpha y}\cos(\alpha y))& \forall y\le 0\\ \frac{P}{8{\alpha}^{4}D}{\mathrm{e}}^{-\alpha y}\cos(\alpha y)& \forall y\ge 0\end{array}\)

avec \(D=\frac{E{t}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}\) et \(4{\alpha}^{4}=\frac{\mathit{Et}}{{\mathit{DR}}^{2}}\) .

La rotation s’écrit :

\({\beta}_{s}=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{P}{8{\alpha}^{3}D}{\mathrm{e}}^{\alpha y}(\cos(\alpha y)-\sin(\alpha y))& \forall y\le 0\\ \frac{P}{8{\alpha}^{3}D}{\mathrm{e}}^{-\alpha y}(\cos(\alpha y)+\sin(\alpha y))& \forall y\ge 0\end{array}\)

Les efforts généraliséssont:

\({N}_{\theta \theta }=\frac{\mathit{Et}}{R}{u}_{x}\left(y\right)\) ,

\({M}_{\mathit{ss}}={\mathit{Du}}_{x}^{''}\left(y\right)=\frac{p}{4{\alpha}^{2}}{\mathrm{e}}^{-|y|}\sin(\alpha y)\)

Les contraintes tridimensionnelles sont:

\({\sigma}_{\theta \theta }=\frac{{N}_{\theta \theta }}{t}+12\frac{{M}_{\theta \theta }(x-R)}{{t}^{3}}\) ,

\({\sigma}_{\mathit{ss}}=12\frac{{M}_{\mathit{ss}}(x-R)}{{t}^{3}}\) ,

soit :

\({\sigma}_{\theta \theta }(y,x)=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{\mathit{pR}}{t}\left(1-\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha y}}{2}\left(\cos(\alpha y)+2\nu \frac{R-x}{t}\sqrt{\frac{3}{1-{\nu}^{2}}}\sin(\alpha y)\right)\right)& \forall y\le 0\\ \frac{\mathit{pR}}{t}\cdot \frac{{\mathrm{e}}^{-\alpha y}}{2}\left(\cos(\alpha y)-2\nu \frac{R-x}{t}\sqrt{\frac{3}{1-{\nu}^{2}}}\sin(\alpha y)\right)& \forall y\ge 0\end{array}\) ,

et:

\({\sigma}_{\mathit{ss}}(y,x)=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{\mathit{pR}}{t}\cdot \frac{x-R}{t}\sqrt{\frac{3}{1-{\nu}^{2}}}{\mathrm{e}}^{\alpha y}\sin(\alpha y)& \forall y\le 0\\ \frac{\mathit{pR}}{t}\cdot \frac{x-R}{t}\sqrt{\frac{3}{1-{\nu}^{2}}}{\mathrm{e}}^{-\alpha y}\sin(\alpha y)& \forall y\ge 0\end{array}\) .

2.2. Grandeurs et résultats de référence#

On teste les valeurs suivantes :

  • la flèche \(\mathit{DX}\) aux points \(A\) , \(B\) et \(C\) ,

  • la rotation \(\mathit{DRZ}\) , aux points \(A\) et \(B\) ,

  • l’effort généralisé \(\mathit{NYY}\) aux points \(B\) et \({B}_{1}\) ,

  • le moment généralisé \(\mathit{MXX}\) au point \({B}_{1}\)

2.3. Références bibliographiques#

    1. ANDRIEUX - F. VOLDOIRE : Modèles de coques. Applications en statique linéaire. Ecole d’Eté CEA-EDF-INRIA d’Analyse Numérique 1992.

2.4. Incertitudes sur la solution#

Il n’y en a pas