Solution de référence
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Méthode de calcul
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On se place dans la théorie de LOVE-KIRCHHOFF pour le calcul de la solution analytique de ce problème.

La flèche dans le repère axisymétrique s’écrit :

:math:`{u}_{x}=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{P}{8{\alpha}^{4}D}(2-{\mathrm{e}}^{\alpha y}\cos(\alpha y))& \forall y\le 0\\ \frac{P}{8{\alpha}^{4}D}{\mathrm{e}}^{-\alpha y}\cos(\alpha y)& \forall y\ge 0\end{array}`

avec :math:`D=\frac{E{t}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}` et :math:`4{\alpha}^{4}=\frac{\mathit{Et}}{{\mathit{DR}}^{2}}` .

La rotation s’écrit :

:math:`{\beta}_{s}=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{P}{8{\alpha}^{3}D}{\mathrm{e}}^{\alpha y}(\cos(\alpha y)-\sin(\alpha y))& \forall y\le 0\\ \frac{P}{8{\alpha}^{3}D}{\mathrm{e}}^{-\alpha y}(\cos(\alpha y)+\sin(\alpha y))& \forall y\ge 0\end{array}`

Les efforts généraliséssont:

:math:`{N}_{\theta \theta }=\frac{\mathit{Et}}{R}{u}_{x}\left(y\right)` ,

:math:`{M}_{\mathit{ss}}={\mathit{Du}}_{x}^{''}\left(y\right)=\frac{p}{4{\alpha}^{2}}{\mathrm{e}}^{-|y|}\sin(\alpha y)`

Les contraintes tridimensionnelles sont:

:math:`{\sigma}_{\theta \theta }=\frac{{N}_{\theta \theta }}{t}+12\frac{{M}_{\theta \theta }(x-R)}{{t}^{3}}` ,

:math:`{\sigma}_{\mathit{ss}}=12\frac{{M}_{\mathit{ss}}(x-R)}{{t}^{3}}` ,

soit :

:math:`{\sigma}_{\theta \theta }(y,x)=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{\mathit{pR}}{t}\left(1-\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha y}}{2}\left(\cos(\alpha y)+2\nu \frac{R-x}{t}\sqrt{\frac{3}{1-{\nu}^{2}}}\sin(\alpha y)\right)\right)& \forall y\le 0\\ \frac{\mathit{pR}}{t}\cdot \frac{{\mathrm{e}}^{-\alpha y}}{2}\left(\cos(\alpha y)-2\nu \frac{R-x}{t}\sqrt{\frac{3}{1-{\nu}^{2}}}\sin(\alpha y)\right)& \forall y\ge 0\end{array}` ,

et:

:math:`{\sigma}_{\mathit{ss}}(y,x)=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{\mathit{pR}}{t}\cdot \frac{x-R}{t}\sqrt{\frac{3}{1-{\nu}^{2}}}{\mathrm{e}}^{\alpha y}\sin(\alpha y)& \forall y\le 0\\ \frac{\mathit{pR}}{t}\cdot \frac{x-R}{t}\sqrt{\frac{3}{1-{\nu}^{2}}}{\mathrm{e}}^{-\alpha y}\sin(\alpha y)& \forall y\ge 0\end{array}` .


Grandeurs et résultats de référence
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On teste les valeurs suivantes :


*   la flèche :math:`\mathit{DX}` aux points :math:`A` , :math:`B` et :math:`C` ,


*   la rotation :math:`\mathit{DRZ}` , aux points :math:`A` et :math:`B` ,


*   l’effort généralisé :math:`\mathit{NYY}` aux points :math:`B` et :math:`{B}_{1}` ,


*   le moment généralisé :math:`\mathit{MXX}` au point :math:`{B}_{1}`


Références bibliographiques
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1.  S. ANDRIEUX - F. VOLDOIRE : Modèles de coques. Applications en statique linéaire. Ecole d’Eté CEA-EDF-INRIA d’Analyse Numérique 1992.


Incertitudes sur la solution
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     Il n'y en a pas