2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution analytique de référence est basée sur la théorie de Love-Kirchhoff, couramment utilisée pour les plaques dites « minces » [bib1].
Compte tenu du problème et en tout point de la plaque, on a pour le calcul de la flèche :
\(w=\frac{{f}_{0}{a}^{4}}{4{\pi}^{4}D}\sin\pi \frac{x}{a}\sin\pi \frac{y}{a}\)
avec :
\(D=\frac{E{h}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}\) , \({f}_{0}=1\) , \(a=1\) et \(\nu =0.25\)
Pour le calcul des moments, la théorie conduit aux expressions suivantes:
\(\begin{array}{ccc}{M}_{xx}& =& \alpha (1+\nu )\sin\pi \frac{x}{a}\sin\pi \frac{y}{a}\\ {M}_{yy}& =& {M}_{xx}\\ {M}_{xy}& =& -\alpha (1-\nu )\cos\pi \frac{x}{a}\cos\pi \frac{y}{a}\end{array}\)
Pour le calcul des courbures, la théorie conduit aux expressions suivantes:
\({\kappa}_{xx}=-\frac{{f}_{0}{a}^{2}}{4{\pi}^{2}D}\sin(\pi \frac{x}{a})\sin(\pi \frac{y}{a})\)
\({\kappa}_{yy}=-\frac{{f}_{0}{a}^{2}}{4{\pi}^{2}D}\sin(\pi \frac{x}{a})\sin(\pi \frac{y}{a})\)
\({\kappa}_{xy}=\frac{{f}_{0}{a}^{2}}{4{\pi}^{2}D}\cos(\pi \frac{x}{a})\cos(\pi \frac{y}{a})\)
avec \(\alpha =\frac{{f}_{0}{a}^{2}}{4{\pi}^{2}}\)
Pour les efforts tranchants, on obtient :
\(\begin{array}{c}{T}_{x}=\frac{{f}_{0}a}{2\pi }\cos\pi \frac{x}{a}\sin\pi \frac{y}{a}\\ {T}_{y}=\frac{{f}_{0}a}{2\pi }\sin\pi \frac{x}{a}\cos\pi \frac{y}{a}\end{array}\)
Pour une plaque homogène, les contraintes planes sont données par:
\(\left(\begin{array}{c}{\sigma}_{xx}\\ {\sigma}_{yy}\\ {\sigma}_{xy}\end{array}\right)=z[A]\left(\begin{array}{c}{M}_{xx}\\ {M}_{yy}\\ {M}_{xy}\end{array}\right)\)
avec \([A]=\frac{12}{{h}^{3}}[I]\) et \(z\) la position dans l’épaisseur de la plaque
et les contraintes de cisaillement transverse par :
\(\left(\begin{array}{c}{\sigma}_{x}\\ {\sigma}_{y}\end{array}\right)=[{D}_{1}(z)]\left(\begin{array}{c}{T}_{x}\\ {T}_{y}\end{array}\right)\) ,
avec \([{D}_{1}(z)]=\frac{6}{{h}^{3}}\left({\left(\frac{h}{2}\right)}^{2}-{z}^{2}\right)\)
Pour l’énergie de déformation en flexion, on obtient :
\({E}_{\mathit{flexion}}=\frac{1}{2}{\int}_{S}[({M}_{xx}.{\kappa}_{xx}+{M}_{yy}.{\kappa}_{yy}+{M}_{xy}.{\kappa}_{xy})]\mathit{dS}\)
2.2. Résultats de référence#
Pour chacune des modélisations, on calcule :
au centre de la plaque, le déplacement,
au centre de la plaque et au milieu du côté \(\mathit{AB}\) , les contraintes \({\sigma}_{xx}\) , \({\sigma}_{yy}\) , \({\sigma}_{xy}\) , \({\sigma}_{xz}\) , \({\sigma}_{yz}\) sur les plans :
inférieur, moyen et supérieur de la plaque dans le cas mono-couche,
inférieur, moyen et supérieur de chaque tranche dans le cas multi-couche (5 couches),
au centre, aux coins et au milieu des côtés \(\mathit{AB}\) et \(\mathit{AD}\) , les efforts de membrane \(N_{xx}\) , \(N_{yy}\) , \(N_{xy}\), les efforts tranchants \({T}_{x}\) , \({T}_{y}\) et les moments \({M}_{xx}\) , \({M}_{yy}\) et \({M}_{xy}\) ,
au centre (point O) , au point A, les déformations de membrane \({e}_{xx}\) , \({e}_{yy}\) , \({e}_{xy}\) et les courbures \({\kappa}_{xx}\) , \({\kappa}_{yy}\) , \({\kappa}_{xy}\) ,
Pour la modélisation V, on calcule au centre (point O) l’énergie de déformation \(\mathit{TOTALE}\) , de \(\mathit{MEMBRANE}\) et de \(\mathit{FLEXION}\) .
L’expression de ces quantités aux points \(O,A,B,C,D\) donne :
\(w\) |
\({M}_{xx}\) |
\({M}_{yy}\) |
\({M}_{xy}\) |
\({T}_{x}\) |
\({T}_{y}\) |
\({\kappa}_{xx}\) |
\({\kappa}_{yy}\) |
\({\kappa}_{xy}\) |
|
\(O\) |
\(\frac{3(1-{\nu}^{2})}{{\pi}^{4}E{h}^{3}}\) |
\(\alpha (1+\nu )\) |
\(\alpha (1+\nu )\) |
0 |
0 |
0 |
\(\frac{-\alpha }{D}\) |
\(\frac{-\alpha }{D}\) |
0 |
\(A\) |
_ |
0 |
0 |
\(-\alpha (1-\nu )\) |
0 |
0 |
0 |
0 |
\(\frac{\alpha}{D}\) |
\(B\) |
_ |
0 |
0 |
\(\alpha (1-\nu )\) |
0 |
0 |
_ |
_ |
_ |
\(\mathit{B1}\) |
_ |
0 |
0 |
0 |
0 |
\(1/2\pi\) |
_ |
_ |
_ |
\(C\) |
_ |
0 |
0 |
\(-\alpha (1-\nu )\) |
0 |
0 |
_ |
_ |
_ |
\(D\) |
_ |
0 |
0 |
\(\alpha (1-\nu )\) |
0 |
0 |
_ |
_ |
_ |
Application numérique :
\(\frac{3(1-{\nu}^{2})}{{\pi}^{4}E{h}^{3}}=1.154923\)
\(\alpha (1+\nu )=0.0316629\)
\(\alpha (1-\nu )=0.0189972\)
\(1/2\pi =0.159155\)
La répartition des contraintes planes et de cisaillement aux points \(O\) et \(\mathit{B1}\) à l’intérieur de la plaque est la suivante :
\(O\) |
\({\sigma}_{xx}\) |
\({\sigma}_{yy}\) |
\({\sigma}_{xy}\) |
\({\sigma}_{xz}\) |
\({\sigma}_{yz}\) |
\(h/2\) |
18.9972 |
18.9972 |
0 |
0 |
0 |
\(\mathrm{3h}/10\) |
11.3983 |
11.3983 |
0 |
0 |
0 |
\(h/10\) |
3.7994 |
3.7994 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
\(-h/10\) |
–3.7994 |
–3.7994 |
0 |
0 |
0 |
\(-\mathrm{3h}/10\) |
–11.3983 |
–11.3983 |
0 |
0 |
0 |
\(-h/2\) |
–18.9972 |
–18.9972 |
0 |
0 |
0 |
\(\mathit{B1}\) |
\({\sigma}_{xx}\) |
\({\sigma}_{yy}\) |
\({\sigma}_{xy}\) |
\({\sigma}_{xz}\) |
\({\sigma}_{yz}\) |
\(h/2\) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
\(\mathrm{3h}/10\) |
0 |
0 |
0 |
0 |
1.5278 |
\(h/10\) |
0 |
0 |
0 |
0 |
2.3777 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2.3873 |
\(-h/10\) |
0 |
0 |
0 |
0 |
2.3777 |
\(-\mathrm{3h}/10\) |
0 |
0 |
0 |
0 |
1.5278 |
\(-h/2\) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
2.4. Références bibliographiques#
BATOZ et DHATT. Modélisation des structures par éléments finis. Poutres et Plaques. Volume 2 HERMES, 1990.