Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- La solution analytique de référence est basée sur la théorie de Love-Kirchhoff, couramment utilisée pour les plaques dites "minces" [bib1]_. Compte tenu du problème et en tout point de la plaque, on a pour le calcul de la flèche : :math:`w=\frac{{f}_{0}{a}^{4}}{4{\pi}^{4}D}\sin\pi \frac{x}{a}\sin\pi \frac{y}{a}` avec : :math:`D=\frac{E{h}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}` , :math:`{f}_{0}=1` , :math:`a=1` et :math:`\nu =0.25` Pour le calcul des moments, la théorie conduit aux expressions suivantes: :math:`\begin{array}{ccc}{M}_{xx}& =& \alpha (1+\nu )\sin\pi \frac{x}{a}\sin\pi \frac{y}{a}\\ {M}_{yy}& =& {M}_{xx}\\ {M}_{xy}& =& -\alpha (1-\nu )\cos\pi \frac{x}{a}\cos\pi \frac{y}{a}\end{array}` Pour le calcul des courbures, la théorie conduit aux expressions suivantes: :math:`{\kappa}_{xx}=-\frac{{f}_{0}{a}^{2}}{4{\pi}^{2}D}\sin(\pi \frac{x}{a})\sin(\pi \frac{y}{a})` :math:`{\kappa}_{yy}=-\frac{{f}_{0}{a}^{2}}{4{\pi}^{2}D}\sin(\pi \frac{x}{a})\sin(\pi \frac{y}{a})` :math:`{\kappa}_{xy}=\frac{{f}_{0}{a}^{2}}{4{\pi}^{2}D}\cos(\pi \frac{x}{a})\cos(\pi \frac{y}{a})` avec :math:`\alpha =\frac{{f}_{0}{a}^{2}}{4{\pi}^{2}}` Pour les efforts tranchants, on obtient : :math:`\begin{array}{c}{T}_{x}=\frac{{f}_{0}a}{2\pi }\cos\pi \frac{x}{a}\sin\pi \frac{y}{a}\\ {T}_{y}=\frac{{f}_{0}a}{2\pi }\sin\pi \frac{x}{a}\cos\pi \frac{y}{a}\end{array}` Pour une plaque homogène, les contraintes planes sont données par: :math:`\left(\begin{array}{c}{\sigma}_{xx}\\ {\sigma}_{yy}\\ {\sigma}_{xy}\end{array}\right)=z[A]\left(\begin{array}{c}{M}_{xx}\\ {M}_{yy}\\ {M}_{xy}\end{array}\right)` avec :math:`[A]=\frac{12}{{h}^{3}}[I]` et :math:`z` la position dans l’épaisseur de la plaque et les contraintes de cisaillement transverse par : :math:`\left(\begin{array}{c}{\sigma}_{x}\\ {\sigma}_{y}\end{array}\right)=[{D}_{1}(z)]\left(\begin{array}{c}{T}_{x}\\ {T}_{y}\end{array}\right)` , avec :math:`[{D}_{1}(z)]=\frac{6}{{h}^{3}}\left({\left(\frac{h}{2}\right)}^{2}-{z}^{2}\right)` Pour l'énergie de déformation en flexion, on obtient : :math:`{E}_{\mathit{flexion}}=\frac{1}{2}{\int}_{S}[({M}_{xx}.{\kappa}_{xx}+{M}_{yy}.{\kappa}_{yy}+{M}_{xy}.{\kappa}_{xy})]\mathit{dS}` Résultats de référence ---------------------- Pour chacune des modélisations, on calcule : * au centre de la plaque, le déplacement, * au centre de la plaque et au milieu du côté :math:`\mathit{AB}` , les contraintes :math:`{\sigma}_{xx}` , :math:`{\sigma}_{yy}` , :math:`{\sigma}_{xy}` , :math:`{\sigma}_{xz}` , :math:`{\sigma}_{yz}` sur les plans : * inférieur, moyen et supérieur de la plaque dans le cas mono-couche, * inférieur, moyen et supérieur de chaque tranche dans le cas multi-couche (5 couches), * au centre, aux coins et au milieu des côtés :math:`\mathit{AB}` et :math:`\mathit{AD}` , les efforts de membrane :math:`N_{xx}` , :math:`N_{yy}` , :math:`N_{xy}`, les efforts tranchants :math:`{T}_{x}` , :math:`{T}_{y}` et les moments :math:`{M}_{xx}` , :math:`{M}_{yy}` et :math:`{M}_{xy}` , * au centre (point O) , au point A, les déformations de membrane :math:`{e}_{xx}` , :math:`{e}_{yy}` , :math:`{e}_{xy}` et les courbures :math:`{\kappa}_{xx}` , :math:`{\kappa}_{yy}` , :math:`{\kappa}_{xy}` , Pour la modélisation V, on calcule au centre (point O) l'énergie de déformation :math:`\mathit{TOTALE}` , de :math:`\mathit{MEMBRANE}` et de :math:`\mathit{FLEXION}` . L’expression de ces quantités aux points :math:`O,A,B,C,D` donne : .. csv-table:: "", ":math:`w`", ":math:`{M}_{xx}`", ":math:`{M}_{yy}`", ":math:`{M}_{xy}`", ":math:`{T}_{x}`", ":math:`{T}_{y}`", ":math:`{\kappa}_{xx}`", ":math:`{\kappa}_{yy}`", ":math:`{\kappa}_{xy}`" ":math:`O`", ":math:`\frac{3(1-{\nu}^{2})}{{\pi}^{4}E{h}^{3}}`", ":math:`\alpha (1+\nu )`", ":math:`\alpha (1+\nu )`", "0", "0", "0", ":math:`\frac{-\alpha }{D}`", ":math:`\frac{-\alpha }{D}`", "0" ":math:`A`", "_", "0", "0", ":math:`-\alpha (1-\nu )`", "0", "0", "0", "0", ":math:`\frac{\alpha}{D}`" ":math:`B`", "_", "0", "0", ":math:`\alpha (1-\nu )`", "0", "0", "_", "_", "_" ":math:`\mathit{B1}`", "_", "0", "0", "0", "0", ":math:`1/2\pi`", "_", "_", "_" ":math:`C`", "_", "0", "0", ":math:`-\alpha (1-\nu )`", "0", "0", "_", "_", "_" ":math:`D`", "_", "0", "0", ":math:`\alpha (1-\nu )`", "0", "0", "_", "_", "_" Application numérique : :math:`\frac{3(1-{\nu}^{2})}{{\pi}^{4}E{h}^{3}}=1.154923` :math:`\alpha (1+\nu )=0.0316629` :math:`\alpha (1-\nu )=0.0189972` :math:`1/2\pi =0.159155` La répartition des contraintes planes et de cisaillement aux points :math:`O` et :math:`\mathit{B1}` à l’intérieur de la plaque est la suivante : .. csv-table:: ":math:`O`", ":math:`{\sigma}_{xx}`", ":math:`{\sigma}_{yy}`", ":math:`{\sigma}_{xy}`", ":math:`{\sigma}_{xz}`", ":math:`{\sigma}_{yz}`" ":math:`h/2`", "18.9972", "18.9972", "0", "0", "0" ":math:`\mathrm{3h}/10`", "11.3983", "11.3983", "0", "0", "0" ":math:`h/10`", "3.7994", "3.7994", "0", "0", "0" "0", "0", "0", "0", "0", "0" ":math:`-h/10`", "–3.7994", "–3.7994", "0", "0", "0" ":math:`-\mathrm{3h}/10`", "–11.3983", "–11.3983", "0", "0", "0" ":math:`-h/2`", "–18.9972", "–18.9972", "0", "0", "0" .. image:: images/1000141E000069D50000615C2104F04402FACEA0.svg .. csv-table:: ":math:`\mathit{B1}`", ":math:`{\sigma}_{xx}`", ":math:`{\sigma}_{yy}`", ":math:`{\sigma}_{xy}`", ":math:`{\sigma}_{xz}`", ":math:`{\sigma}_{yz}`" ":math:`h/2`", "0", "0", "0", "0", "0" ":math:`\mathrm{3h}/10`", "0", "0", "0", "0", "1.5278" ":math:`h/10`", "0", "0", "0", "0", "2.3777" "0", "0", "0", "0", "0", "2.3873" ":math:`-h/10`", "0", "0", "0", "0", "2.3777" ":math:`-\mathrm{3h}/10`", "0", "0", "0", "0", "1.5278" ":math:`-h/2`", "0", "0", "0", "0", "0" Incertitude sur la solution --------------------------- Solution analytique. Références bibliographiques --------------------------- .. [bib1] BATOZ et DHATT. Modélisation des structures par éléments finis. Poutres et Plaques. Volume 2 HERMES, 1990.