2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Deux solutions de référence sont utilisables, pour le calcul de la déformée, suivant la théorie de plaque utilisée :

  • la théorie de Love-Kirchhoff, couramment utilisée pour les plaques dites « minces », que l’on retiendra pour les modélisations \(A\) , \(B\) et \(E\) ,

  • la théorie de Reissner, incluant les effets du cisaillement pour les plaques dites « épaisses », que l’on retiendra pour les modélisations \(F\) , \(G\) et \(H\) .

En tout point distant de \(r\) du centre de la plaque \(r\le R\) , on a pour le calcul de la flèche :

\(w(r)=-P\frac{{R}^{4}}{64D}(1-\frac{{r}^{2}}{{R}^{2}})(1+\frac{{r}^{2}}{{R}^{2}}-\frac{2(3+\nu )}{1+\nu }-\varphi )\) avec \(D=\frac{E{t}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}\)

et \(\varphi =0(\text{Love-Kirchhoff})\) ou \(\varphi =\frac{16}{5}{(\frac{t}{R})}^{2}\frac{1}{1-\nu }(\text{Reissner})\)

Pour le calcul des moments les deux théories conduisent aux mêmes expressions :

\({M}_{\mathit{rr}}(r)=\frac{{\mathit{PR}}^{2}}{16}(3+\nu )\left[{(\frac{r}{R})}^{2}-1\right]{M}_{\theta \theta }(r)=\frac{{\mathit{PR}}^{2}}{16}(3+\nu )\left[1-\frac{1+3\nu }{3+\nu }{(\frac{r}{R})}^{2}\right]\)

Au centre de la plaque :

\(\begin{array}{c}w(0)=-\frac{{\mathit{PR}}^{4}}{64D}(\frac{5+\nu }{1+\nu })(\text{Love}-\text{Kirchhoff})\text{ou}w(0)=-\frac{{\mathit{PR}}^{4}}{64D}(\frac{5+\nu }{1+\nu }+\varphi )(\text{Reissner})\\ {M}_{\mathit{rr}}(0)={M}_{\theta \theta }(0)=-\frac{{\mathit{PR}}^{2}}{16}(3+\nu )\end{array}\)

Remarque :

Code_Aster calcule les moments aux nœuds de chaque élément fini dans le repère de référence défini par la normale extérieure et les axes de référence définis sur la coque (voir AFFE_CARA_ELEM dans la documentation d’utilisation).

La valeur du moment \({M}_{xx}\) (ou \({M}_{yy}\) ), extraite du champ “EFGE_ELNO”, en un nœud appartenant à plusieurs éléments finis peut être considérée comme étant la moyenne des valeurs calculées sur les éléments qui ont ce nœud en commun. Cette moyenne peut être obtenue par la procédure POST_RELEVE [U4.74.03].

Pour chaque nœud, on a : \(({M}_{\text{rr}}+{M}_{\theta \theta })=({M}_{xx}+{M}_{yy})=\text{Sm}\)

pour le point \(O\) \({M}_{xx}={M}_{yy}={M}_{\text{rr}}={M}_{\theta \theta }\)

pour les points \(A\mathit{et}D\) \({M}_{xx}={M}_{\text{rr}}\mathit{et}{M}_{yy}={M}_{\theta \theta }\)

pour les points \(C\mathit{et}E\) \({M}_{xx}={M}_{\theta \theta }\mathit{et}{M}_{yy}={M}_{\mathit{rr}}\)

pour les points \(B\mathit{et}F\) \({M}_{xx}={M}_{yy}=({M}_{\text{rr}}+{M}_{\theta \theta })/2\)

2.2. Résultats de référence#

Flèche et moments aux points : \(O,A,BC,DE,F\) .

2.3. Incertitude sur la solution#

Solution analytique

2.4. Références bibliographiques#

  1. TIMOSHENKO et WOINOWSKY-KRIEGER, Plaques et coques, Édition Béranger - (1961).