Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Deux solutions de référence sont utilisables, pour le calcul de la déformée, suivant la théorie de plaque utilisée :


*   la théorie de Love-Kirchhoff, couramment utilisée pour les plaques dites "minces", que l'on retiendra pour les modélisations :math:`A` , :math:`B` et :math:`E` ,


*   la théorie de Reissner, incluant les effets du cisaillement pour les plaques dites "épaisses", que l'on retiendra pour les modélisations :math:`F` , :math:`G` et :math:`H` .

En tout point distant de :math:`r` du centre de la plaque :math:`r\le R` , on a pour le calcul de la flèche :

:math:`w(r)=-P\frac{{R}^{4}}{64D}(1-\frac{{r}^{2}}{{R}^{2}})(1+\frac{{r}^{2}}{{R}^{2}}-\frac{2(3+\nu )}{1+\nu }-\varphi )` avec :math:`D=\frac{E{t}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}`

et :math:`\varphi =0(\text{Love-Kirchhoff})` ou :math:`\varphi =\frac{16}{5}{(\frac{t}{R})}^{2}\frac{1}{1-\nu }(\text{Reissner})`

Pour le calcul des moments les deux théories conduisent aux mêmes expressions :

:math:`{M}_{\mathit{rr}}(r)=\frac{{\mathit{PR}}^{2}}{16}(3+\nu )\left[{(\frac{r}{R})}^{2}-1\right]{M}_{\theta \theta }(r)=\frac{{\mathit{PR}}^{2}}{16}(3+\nu )\left[1-\frac{1+3\nu }{3+\nu }{(\frac{r}{R})}^{2}\right]`

Au centre de la plaque :

:math:`\begin{array}{c}w(0)=-\frac{{\mathit{PR}}^{4}}{64D}(\frac{5+\nu }{1+\nu })(\text{Love}-\text{Kirchhoff})\text{ou}w(0)=-\frac{{\mathit{PR}}^{4}}{64D}(\frac{5+\nu }{1+\nu }+\varphi )(\text{Reissner})\\ {M}_{\mathit{rr}}(0)={M}_{\theta \theta }(0)=-\frac{{\mathit{PR}}^{2}}{16}(3+\nu )\end{array}`

**Remarque :**

*Code_Aster calcule les moments aux nœuds de chaque élément fini dans le repère de référence défini par la normale extérieure et les axes de référence définis sur la coque (voir* *AFFE_CARA_ELEM dans la documentation d’utilisation).*

*La valeur du moment* :math:`{M}_{xx}` *(ou* :math:`{M}_{yy}` *), extraite du champ* *'EFGE_ELNO', en un nœud appartenant à plusieurs éléments finis peut être considérée comme étant la moyenne des valeurs calculées sur les éléments qui ont ce nœud en commun. Cette moyenne peut être obtenue par la procédure* *POST_RELEVE* [:external:ref:`U4.74.03 <U4.74.03>`].

Pour chaque nœud, on a : :math:`({M}_{\text{rr}}+{M}_{\theta \theta })=({M}_{xx}+{M}_{yy})=\text{Sm}`

 pour le point :math:`O`     :math:`{M}_{xx}={M}_{yy}={M}_{\text{rr}}={M}_{\theta \theta }`

 pour les points :math:`A\mathit{et}D`     :math:`{M}_{xx}={M}_{\text{rr}}\mathit{et}{M}_{yy}={M}_{\theta \theta }`

 pour les points :math:`C\mathit{et}E`     :math:`{M}_{xx}={M}_{\theta \theta }\mathit{et}{M}_{yy}={M}_{\mathit{rr}}`

 pour les points :math:`B\mathit{et}F`     :math:`{M}_{xx}={M}_{yy}=({M}_{\text{rr}}+{M}_{\theta \theta })/2`


Résultats de référence
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Flèche et moments aux points : :math:`O,A,BC,DE,F` .


Incertitude sur la solution
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Solution analytique


Références bibliographiques
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1.  TIMOSHENKO et WOINOWSKY-KRIEGER, Plaques et coques, Édition Béranger - (1961).