2. Solution de référence

2.1. Solution élastique

En élasticité, pour une plaque infinie, comportant un trou de diamètre \(a\) , soumise à un chargement \(P\) selon \(y\) à l’infini, la solution analytique en contraintes planes et coordonnées polaires \((r,\theta )\) est [bib1] :

\({\sigma}_{\mathit{rr}}=\frac{P}{2}\left[(1-{(\frac{a}{r})}^{2})-(1-4{(\frac{a}{r})}^{2}+3{(\frac{a}{r})}^{4})\cos2\theta \right]\)

\({\sigma}_{\theta \theta }=\frac{P}{2}\left[(1+{(\frac{a}{r})}^{2})+(1+3{(\frac{a}{r})}^{4})\cos2\theta \right]\)

\({\sigma}_{r\theta }=\frac{P}{2}\left[(1+2{(\frac{a}{r})}^{2}-3{(\frac{a}{r})}^{4})\sin2\theta \right]\)

En particulier, au bord du trou (\(r=a\) ) : \({\sigma}_{\theta \theta }=P[(1+2\cos2\theta )]\)

Et le long de l’axe \(x\) : \({\sigma}_{\theta \theta }={\sigma}_{yy}=\frac{P}{2}\left[(1+{(\frac{a}{r})}^{2})+(1+3{(\frac{a}{r})}^{4})\right]\)

Numériquement, pour \(P=1\mathit{MPa}\) , et pour une plaque infinie , on a:

Point	Composante	Calcul	\(\mathrm{MPa}\)
\(A\)	\(\mathit{SIXX}\)	\({\sigma}_{\theta \theta }(r=a,\theta =\pi /2)\)	–1
\(B\)	\(\mathit{SIYY}\)	\({\sigma}_{\theta \theta }(r=a,\theta =0)\)	3

Pour une plaque de dimension finie , les abaques [bib1] permettent d’obtenir le coefficient de concentration de contraintes, et on trouve que pour une traction de \(1\mathrm{MPa}\) , \(\mathit{SIYY}\) maximum vaut environ \(3.03\mathit{MPa}\) au point \(B\) .

2.2. Références bibliographiques

1. Analyse limite des structures fissurées et critères de résistance. F. VOLDOIRE : Note EDF/DER/HI/74/95/26 1995

2. Stress concentration factors. R.E. PETERSON Ed. J. WILEY p150