Solution de référence
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Solution élastique
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En élasticité, pour une plaque **infinie,** comportant un trou de diamètre :math:`a` , soumise à un chargement :math:`P` selon :math:`y` à l’infini, la solution analytique en contraintes planes et coordonnées polaires :math:`(r,\theta )` est [:ref:`bib1 <bib1>`] :

:math:`{\sigma}_{\mathit{rr}}=\frac{P}{2}\left[(1-{(\frac{a}{r})}^{2})-(1-4{(\frac{a}{r})}^{2}+3{(\frac{a}{r})}^{4})\cos2\theta \right]`

:math:`{\sigma}_{\theta \theta }=\frac{P}{2}\left[(1+{(\frac{a}{r})}^{2})+(1+3{(\frac{a}{r})}^{4})\cos2\theta \right]`

:math:`{\sigma}_{r\theta }=\frac{P}{2}\left[(1+2{(\frac{a}{r})}^{2}-3{(\frac{a}{r})}^{4})\sin2\theta \right]`

En particulier, au bord du trou (:math:`r=a` ) : :math:`{\sigma}_{\theta \theta }=P[(1+2\cos2\theta )]`

Et le long de l’axe :math:`x` : :math:`{\sigma}_{\theta \theta }={\sigma}_{yy}=\frac{P}{2}\left[(1+{(\frac{a}{r})}^{2})+(1+3{(\frac{a}{r})}^{4})\right]`

Numériquement, pour :math:`P=1\mathit{MPa}` , et pour une plaque **infinie** , on a:


.. csv-table::

    "Point", "Composante", "Calcul", ":math:`\mathrm{MPa}`"
    ":math:`A`", ":math:`\mathit{SIXX}`", ":math:`{\sigma}_{\theta \theta }(r=a,\theta =\pi /2)`", "–1"
    ":math:`B`", ":math:`\mathit{SIYY}`", ":math:`{\sigma}_{\theta \theta }(r=a,\theta =0)`", "3"


Pour une plaque de dimension **finie** , les abaques [:ref:`bib1 <bib1>`] permettent d’obtenir le coefficient de concentration de contraintes, et on trouve que pour une traction de :math:`1\mathrm{MPa}` , :math:`\mathit{SIYY}` maximum vaut environ :math:`3.03\mathit{MPa}` au point :math:`B` .


Références bibliographiques
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1.  Analyse limite des structures fissurées et critères de résistance. F. VOLDOIRE : Note EDF/DER/HI/74/95/26 1995


2.  Stress concentration factors. R.E. PETERSON Ed. J. WILEY p150