2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Méthode des éléments de frontière, avec des éléments quadratiques [bib1].
Le calcul de \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) est effectué par une intégrale de contour (intégrale M [bib2]) dans laquelle interviennent les contraintes et déplacements calculés dans la pièce, ainsi que les contraintes et déplacements déduits de solutions asymptotiques définies analytiquement, dans lesquelles \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) sont alternativement nuls.
A titre de comparaison, le calcul des \(K\) est également effectué par la méthode d’extension virtuelle.
2.2. Résultats de référence#
Les résultats de la solution de référence sont présentés dans le tableau ci-dessous, pour les différentes valeurs de l’angle et pour les deux extrémités de la fissure, avec
.
Méthode |
Côté gauche |
Côté droit |
|||||||
\(\theta =15°\) |
\(\theta =30°\) |
\(\theta =45°\) |
\(\theta =60°\) |
\(\theta =15°\) |
\(\theta =30°\) |
\(\theta =45°\) |
\(\theta =60°\) |
||
intégrale |
\({F}_{I}\) |
1,0115 |
0,7868 |
0,5211 |
0,2770 |
1,1266 |
0,9910 |
0,7646 |
0,4919 |
\(M\) |
\({F}_{\mathrm{II}}\) |
0,4434 |
0,6244 |
0,6723 |
0,5804 |
0,0862 |
0,2961 |
0,4056 |
0,4057 |
extension |
\({F}_{I}\) |
1,0110 |
0,7864 |
0,5210 |
0,2769 |
1,1260 |
0,9904 |
0,7643 |
0,4919 |
virtuelle |
\({F}_{\mathrm{II}}\) |
0,4429 |
0,6240 |
0,6720 |
0,5801 |
0,0865 |
0,2960 |
0,4055 |
0,4056 |
La relation entre le taux global de restitution de l’énergie \(G\) et les \({K}_{j}\) s’écrit comme suit [bib3] :
\(G=\beta ({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathrm{II}}^{2})\)
avec:
\(\beta =\frac{1}{16C{h}^{2}(\alpha \pi )}(\frac{1+{\kappa}_{1}}{{\mu}_{1}}+\frac{1+{\kappa}_{2}}{{\mu}_{2}})\) et \(\begin{array}{c}{\kappa}_{i}=\frac{3-{\nu}_{i}}{1+{\nu}_{i}}\\ {\mu}_{i}=\frac{{E}_{i}}{2(1+{\nu}_{i})}\\ \alpha =\frac{1}{2\pi }\ln\left[(\frac{{\kappa}_{1}}{{\mu}_{1}}+\frac{1}{{\mu}_{2}}){(\frac{{\kappa}_{2}}{{\mu}_{2}}+\frac{1}{{\mu}_{1}})}^{-1}\right]\end{array}\)
2.3. Incertitude sur la solution#
Estimée à moins de 0,1%. On note que l’écart entre la méthode des intégrales de contour et la méthode d’extension virtuelle est généralement inférieur à 0,05 %.
2.4. Références bibliographiques#
Stress intensity factor analysis of interface crack using boundary element method. Application of contour-integral method. N. MIYAZAKI, T. IKEDA, T.SODA et T. MUNAKATA. Engng.Fract.Mechs., 45, n°5, 599-610, 1993.
An analysis of interface cracks between dissimilar isotropic materials using conservation integrals in elasticity. J. F. YAU et T. C. CHANG. Engng.Fract.Mechs., 20, 423-432, 1984.
The strength of adhesive joints using the theory of cracks. B. M. MALYSHEV et R.L.SALGANIK. Int.J.Fract.Mech., 1, 114-128, 1965.