Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Méthode des éléments de frontière, avec des éléments quadratiques [:ref:`bib1 <bib1>`].

Le calcul de :math:`{K}_{I}` et :math:`{K}_{\mathrm{II}}` est effectué par une intégrale de contour (intégrale M [:ref:`bib2 <bib2>`]) dans laquelle interviennent les contraintes et déplacements calculés dans la pièce, ainsi que les contraintes et déplacements déduits de solutions asymptotiques définies analytiquement, dans lesquelles :math:`{K}_{I}` et :math:`{K}_{\mathrm{II}}` sont alternativement nuls.

A titre de comparaison, le calcul des :math:`K` est également effectué par la méthode d'extension virtuelle.


Résultats de référence
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Les résultats de la solution de référence sont présentés dans le tableau ci-dessous, pour les différentes valeurs de l’angle et pour les deux extrémités de la fissure, avec

.. image:: images/Object_1.svg
    :width: 172
    :height: 49


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.


+-----------+---------------------------+---------------------+-------------------------------------------+---------------------+---------------------+-------------------------------------------+---------------------+
| Méthode   |                           |                     | Côté gauche                               |                     |                     | Côté droit                                |                     |
+-----------+---------------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+
|           |                           | :math:`\theta =15°` | :math:`\theta =30°` | :math:`\theta =45°` | :math:`\theta =60°` | :math:`\theta =15°` | :math:`\theta =30°` | :math:`\theta =45°` | :math:`\theta =60°` |
+-----------+---------------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+
| intégrale | :math:`{F}_{I}`           | 1,0115              | 0,7868              | 0,5211              | 0,2770              | 1,1266              | 0,9910              | 0,7646              | 0,4919              |
+-----------+---------------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+
| :math:`M` | :math:`{F}_{\mathrm{II}}` | 0,4434             | 0,6244             | 0,6723             | 0,5804             | 0,0862              | 0,2961              | 0,4056              | 0,4057              |
+-----------+---------------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+
| extension | :math:`{F}_{I}`           | 1,0110              | 0,7864              | 0,5210              | 0,2769              | 1,1260              | 0,9904              | 0,7643              | 0,4919              |
+-----------+---------------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+
| virtuelle | :math:`{F}_{\mathrm{II}}` | 0,4429             | 0,6240             | 0,6720             | 0,5801             | 0,0865              | 0,2960              | 0,4055              | 0,4056              |
+-----------+---------------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+

La relation entre le taux global de restitution de l'énergie :math:`G` et les :math:`{K}_{j}` s'écrit comme suit [:ref:`bib3 <bib3>`] :

:math:`G=\beta ({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathrm{II}}^{2})`

avec:

:math:`\beta =\frac{1}{16C{h}^{2}(\alpha \pi )}(\frac{1+{\kappa}_{1}}{{\mu}_{1}}+\frac{1+{\kappa}_{2}}{{\mu}_{2}})` et :math:`\begin{array}{c}{\kappa}_{i}=\frac{3-{\nu}_{i}}{1+{\nu}_{i}}\\ {\mu}_{i}=\frac{{E}_{i}}{2(1+{\nu}_{i})}\\ \alpha =\frac{1}{2\pi }\ln\left[(\frac{{\kappa}_{1}}{{\mu}_{1}}+\frac{1}{{\mu}_{2}}){(\frac{{\kappa}_{2}}{{\mu}_{2}}+\frac{1}{{\mu}_{1}})}^{-1}\right]\end{array}`


Incertitude sur la solution
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Estimée à moins de 0,1%. On note que l’écart entre la méthode des intégrales de contour et la méthode d’extension virtuelle est généralement inférieur à 0,05 %.


Références bibliographiques
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1.  Stress intensity factor analysis of interface crack using boundary element method. Application of contour-integral method. N. MIYAZAKI, T. IKEDA, T.SODA et T. MUNAKATA. Engng.Fract.Mechs., 45, n°5, 599-610, 1993.


2.  An analysis of interface cracks between dissimilar isotropic materials using conservation integrals in elasticity. J. F. YAU et T. C. CHANG. Engng.Fract.Mechs., 20, 423-432, 1984.


3.  The strength of adhesive joints using the theory of cracks. B. M. MALYSHEV et R.L.SALGANIK. Int.J.Fract.Mech., 1, 114-128, 1965.