2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Solution analytique [V3.01.102] (cinématique de Timoshenko): déplacements en \(B\) dans le repère \((\mathit{Oxyz})\) lié à la poutre. La solution analytique pour le chargement en pression dans [bib2].

\[ \begin{align}\begin{aligned}\text{Traction simple : } & {u}_{x}=\frac{{F}_{x}L}{ES} &\\\text{Flexion simple : } & {u}_{y}=\frac{{F}_{y}{L}^{3}(4+\Phi_y)}{12E{I}_{z}} & {\theta}_{z}=\frac{{L}^{2}{F}_{y}}{2E{I}_{z}}\\\text{Flexion simple : } & {u}_{z}=\frac{{F}_{z}{L}^{3}(4+\Phi_z)}{12E{I}_{y}} & {\theta}_{y}=\frac{-{L}^{2}{F}_{z}}{2E{I}_{y}}\\\text{Torsion : } & {\theta}_{x}=\frac{{M}_{x}L}{G{J}_{x}} &\\\text{Flexion pure : } & {u}_{z}=\frac{-{M}_{y}{L}^{2}}{2E{I}_{y}} & {\theta}_{y}=\frac{{M}_{y}L}{E{I}_{y}}\\\text{Flexion pure : } & {u}_{y}=\frac{{M}_{z}{L}^{2}}{2E{I}_{z}} & {\theta}_{z}=\frac{{M}_{z}L}{E{I}_{z}}\\\text{Pression : } & {u}_{r}=\frac{P{b}^{2}r}{E({b}^{2}-{a}^{2})}\left[(1-\nu )+(1+\nu )\frac{{a}^{2}}{{r}^{2}}\right]\end{aligned}\end{align} \]

Avec \(u_r\) calculé en \(r=\frac{a+b}{2}\).

Les coefficients de cisaillement sont donnés par :

\[ \begin{align}\begin{aligned}\Phi_y = \frac{12EI_z}{L^2 G A'_y}\\\Phi_z = \frac{12EI_y}{L^2 G A'_z}\end{aligned}\end{align} \]

Ici, les valeurs sont obtenues avec \(S = A'_y = A'_z\).

Pour les déformations généralisées de poutre, on obtient, par la loi de comportement:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\text{Traction simple : } & {\epsilon}_{x}=\frac{{F}_{x}}{ES} &\\\text{Flexion simple : } & {\gamma}_{xy}=\frac{{F}_{y}}{GA'_y} & {\kappa}_{z}=\frac{{F}_{y}(L-x)}{E{I}_{z}}\\\text{Flexion simple : } & {\gamma}_{xz}=\frac{{F}_{z}}{GA'_z} & {\kappa}_{y}=\frac{{F}_{z}(L-x)}{E{I}_{y}}\\\text{Torsion : } & & {\kappa}_{x}=\frac{{M}_{x}}{G{J}_{x}}\\\text{Flexion pure : } & & {\kappa}_{y}=\frac{{M}_{y}}{E{I}_{y}}\\\text{Flexion pure : } & & {\kappa}_{z}=\frac{{M}_{z}}{E{I}_{z}}\\\text{Pression : } & \epsilon_{\theta\theta} = P \frac{b}{E e} &\end{aligned}\end{align} \]

—

Chargement de pesanteur et chargement linéique :

Si \(p\) désigne la charge répartie, le moment à l’origine vaut \(M(O)=\frac{p{L}^{2}}{2}\) et le déplacement suivant \(z\) à l’extrémité B vaut: \({u}_{z}(B)=\frac{p{L}^{4}}{8EI} + \frac{pL^2}{2GA'}\).

—

Le chargement de dilatation thermique conduit à un déplacement axial (dans la direction locale \(x\)):

\[{U}_{x}(B)=L(\alpha T)\]

Les déformations de dilatation libre de la surface du tuyau sont simplement, en repère local:

\[{\epsilon}_{xx}={\epsilon}_{yy}=\alpha T\]

—

Enfin pour valider le calcul de la matrice de masse, une analyse modale des 14 premiers modes propres (avec encastrement en \(O\) ) est menée. L’analyse modale doit faire apparaître les modes de flexion, de traction-compression et de torsion.

La fréquence propre du mode de traction-compression est donnée par :

\[f_{0, x} = \frac{1}{4L}\sqrt{\frac{E}{\rho}}\]

La fréquence propre du mode de torsion est donnée par :

\[f_{0, \theta_{x}} = \frac{1}{4L}\sqrt{\frac{G}{\rho}}\]

Les fréquences propres des modes de flexion ne peuvent pas être déterminées analytiquement dans la théorie de Timoshenko, puisqu’elles sont solutions d’une équation non-linéaire sans aucune solution analytique connue [bib1]. Cependant, leurs valeurs peuvent être approchées par une résolution numérique de cette équation.

Remarque

On sait cependant que les fréquences propres des modes de flexion de la théorie d’Euler-Bernoulli constituent une borne supérieure :

\[{f}_{i}=\frac{1}{2\pi}{(\frac{{\lambda}_{i}}{L})}^{2}\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}\]

avec les \({\lambda}_{i}\) dans le tableau suivant. L’application numérique pour la théorie d’Euler-Bernoulli est donnée à titre informatif.

Mode (Euler-Bernoulli)	\({\lambda}_{i}\)	Fréquence (Hz)
1	1.87510407	3.049775
2	4.69409113	19.11262
3	7.85475744	53.51588
4	10.9955407	104.8698
5	14.1371684	173.3572
6	17.2787596	258.9657

L’application numérique pour l’ensemble des modes donne (les modes de flexion sont doublés):

Mode	Fréquence (Hz)	Type
1 / 2	3.0490368	Flexion
3 / 4	19.080406	Flexion
5 / 6	53.301747	Flexion
7 / 8	104.09877	Flexion
9	157.01857	Torsion
10 / 11	171.33874	Flexion
12	253.18484	Traction-Compression
13 / 14	254.60565	Flexion

2.2. Résultats de référence#

Déplacement aux point \(B\) , efforts, contraintes et déformations au voisinage du point \(O\) ;
Déformation généralisées ;
Fréquences propres.

2.3. Incertitude sur la solution#

Solution analytique pour l’ensemble des valeurs hors fréquences propres des modes de flexion.

Solution analytique approchée par un calcul numérique pour les fréquences propres des modes de flexion. La précision est la tolérance machine.

2.4. Références bibliographiques#

[bib1]

T.C. Huang. The effect of rotatory inertia and of shear deformation on the frequency and normal mode equations of uniform beams with simple end conditions. Journal of Applied Mechanics, 28:579–584, 1961.

[bib2]

Cécile Berriet, Jérôme Chambert. Analyse d’un cylindre à paroi mince sous pression : un support simple de montée en compétences. Congrès Français de Mécanique, Aug 2019, Brest, France.