1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

Poutre droite de longueur \(L=5m\) , de vecteur directeur \((4,3,0)\) .

_images/10000000000001DE00000098DC1BD62BB1B66370.png _images/section_droite_tuyau.svg

Section du tuyau

Section tubulaire de rayon extérieur \(\mathrm{a=0.040m}\) , de rayon interne \(b=\mathrm{0.036m}\) , d’épaisseur \(e=0.004m\) .

1.2. Propriétés de matériaux#

Le matériau utilisé a un comportement élastique. Les paramètres matériaux prennent les valeurs suivantes:

  • Module d’Young \(E=200 \mathrm{GPa}\) ,

  • Coefficient de Poisson \(\nu =0.3\) ,

  • Masse volumique \(\rho =7800\mathrm{kg}/{m}^{3}\) ,

  • Coefficient de dilatation thermique \(\alpha ={10}^{-5}\) .

1.3. Conditions aux limites et chargements#

  • Encastrement en \(O\)

  • 6 Chargements élémentaires à l’extrémité \(B\)

  • dans le repère \((x,y,z)\) lié à la poutre:

\({F}_{x}={5.10}^{2}N\)

\({M}_{x}={5.10}^{2}\mathit{Nm}\)

\({F}_{y}={5.10}^{2}N\)

\({M}_{y}={5.10}^{2}\mathit{Nm}\)

\({F}_{z}={5.10}^{2}N\)

\({M}_{z}={5.10}^{2}\mathit{Nm}\)

Soit, dans le repère global \((X,Y,Z)\) :

  • 1 chargement de traction: \({F}_{X}={4.10}^{2}N\) et \({F}_{Y}={3.10}^{2}N\)

  • 2 efforts tranchants:dans le plan \((\mathrm{oxy})\) \({F}_{X}=–3.10^2N\) et \({F}_{Y}={4.10}^{2}N\) et dans le plan \((\mathrm{oyz})\) \({F}_{Z}={5.10}^{2}N\)

  • 1 moment de torsion: \({M}_{X}={4.10}^{2}\mathrm{Nm}\) et \({M}_{Y}={3.10}^{2}\mathrm{Nm}\)

  • 2 efforts tranchants:dans le plan \((\mathrm{oxy})\) \({M}_{X}=–{3.10}^{2}\mathit{Nm}\) et \({M}_{Y}={4.10}^{2}\mathit{Nm}\) et dans le plan \((\mathrm{oyz})\) \({M}_{Z}={5.10}^{2}\mathit{Nm}\)

  • Pression interne: \(P={10}^{7}\mathrm{Pa}\)

  • Pesanteur, avec \(g=\mathrm{10m}/{s}^{2}\) , dans la direction \(-Z\)

  • Chargement linéique, \(\mathrm{Fz}=-74.49N/m\) (ce qui correspond à la charge due à la pesanteur: \(\mathrm{Fz}=\mathrm{\rho S g}\) )

  • Dilatation thermique: \(\mathrm{Temp}=100°C\)

1.4. Notation des caractéristiques de sections transversales#

Les caractéristiques géométriques des sections transversales sont notées:

  • \(S = \pi(a^2-b^2)=9.55 \cdot 10^{-4} m^2\) : aire de la section

  • \({I}_{y} = {I}_{z} = \frac{\pi}{4}(a^4-b^4) = 6.915 \cdot 10^{-7} m^4\) : moments d’inertie géométriques par rapport aux axes principaux d’inertie de la section

  • \({J}_{x} = I_y + I_z\) : constante de torsion