2. Modélisations E et F#

2.1. Objectifs#

L’objectif de ces modélisations est de vérifier sur un élément que la modélisation d’un matériau viscoélastique dont le coefficient de Poisson est constant/réel et le module de Young complexe est équivalente à la modélisation d’un matériau élastiques avec un coefficient d’amortissement hystérétique.

En élasticité isotrope, la loi de comportement s’écrit:

\(\sigma =\frac{E}{1+\nu }(ϵ+\frac{\nu}{1-2\nu }\mathit{Tr}(ϵ)\mathit{Id})\)

Ainsi, si \(E={E}_{r}+j{E}_{i}\) alors

\(\sigma =(1+j\frac{{E}_{i}}{{E}_{r}})\frac{{E}_{r}}{1+\nu }(ϵ+\frac{\nu}{1-2\nu }\mathit{Tr}(ϵ)\mathit{Id})\)

Cela correspond à un matériau élastique isotrope de module de Young \({E}_{r}\) de Poisson \(\nu\) et d’amortissement hystérétique \(\eta =\frac{{E}_{i}}{{E}_{r}}\)

2.2. Géométrie#

S’agissant de test de construction de matrice de rigidités, la géométrie correspond à un cube pour les éléments 3D et un plan carré pour les éléments 2D.

2.3. Propriétés matériaux#

Les deux matériaux déclaré sont:

  • viscoélastique, matériau 1: \(G=\mathrm{0,53e9}+\mathrm{9,3e6}j\mathit{Pa},\nu =0,3\)

  • élastique, matériau 2: \(E=\mathrm{1,3e9}\mathit{Pa},\nu =\mathrm{0,3,}\eta =\mathrm{1,8e-2}\)

2.4. Caractéristiques des modélisations#

Modélisation

Élément

Maillage

E

3D

1 HEXA8

F

C_PLAN

1 QUAD4

2.5. Grandeurs testées#

Pour chaque modélisations, on construits les matricesde raideurs complexes:

  • \({K}_{1}\text{*}\) du matériau 1

  • \({K}_{2}\text{*}\) du matériau 2

on vérifie alors \({K}_{1}\text{*}={K}_{2}\text{*}\)