Modélisations E et F
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Objectifs
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L’objectif de ces modélisations est de vérifier sur un élément que la modélisation d’un matériau viscoélastique dont le coefficient de Poisson est constant/réel et le module de Young complexe est équivalente à la modélisation d’un matériau élastiques avec un coefficient d’amortissement hystérétique.

En élasticité isotrope, la loi de comportement s’écrit:

:math:`\sigma =\frac{E}{1+\nu }(ϵ+\frac{\nu}{1-2\nu }\mathit{Tr}(ϵ)\mathit{Id})`

Ainsi, si :math:`E={E}_{r}+j{E}_{i}` alors

:math:`\sigma =(1+j\frac{{E}_{i}}{{E}_{r}})\frac{{E}_{r}}{1+\nu }(ϵ+\frac{\nu}{1-2\nu }\mathit{Tr}(ϵ)\mathit{Id})`

Cela correspond à un matériau élastique isotrope de module de Young :math:`{E}_{r}` de Poisson :math:`\nu` et d’amortissement hystérétique :math:`\eta =\frac{{E}_{i}}{{E}_{r}}`


Géométrie
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S’agissant de test de construction de matrice de rigidités, la géométrie correspond à un cube pour les éléments 3D et un plan carré pour les éléments 2D.


Propriétés matériaux
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Les deux matériaux déclaré sont:


*   viscoélastique, matériau 1: :math:`G=\mathrm{0,53e9}+\mathrm{9,3e6}j\mathit{Pa},\nu =0,3`


*   élastique, matériau 2: :math:`E=\mathrm{1,3e9}\mathit{Pa},\nu =\mathrm{0,3,}\eta =\mathrm{1,8e-2}`


Caractéristiques des modélisations
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.. csv-table::

    "Modélisation", "Élément", "Maillage"
    "E", "3D", "1 HEXA8"
    "F", "C_PLAN", "1 QUAD4"



Grandeurs testées
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Pour chaque modélisations, on construits les matricesde raideurs complexes:


*   :math:`{K}_{1}\text{*}` du matériau 1


*   :math:`{K}_{2}\text{*}` du matériau 2

on vérifie alors :math:`{K}_{1}\text{*}={K}_{2}\text{*}`