2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le calcul s’effectue à partir des relations d’équilibre dynamique et de comportement [bib2] rappelées ci‑après:
\(\frac{\partial {M}_{y}}{\partial x}+{V}_{z}=⟨\rho I⟩\frac{{\partial}^{2}{\theta}_{y}}{\partial {t}^{2}}\) |
\(\frac{\partial {V}_{z}}{\partial x}=⟨\rho S⟩\frac{{\partial}^{2}{v}_{z}}{\partial {t}^{2}}\) |
\({M}_{y}=⟨EI⟩\frac{\partial {\theta}_{y}}{\partial x}\) |
\({V}_{z}=k⟨GS⟩\left(\frac{\partial {v}_{z}}{\partial x}-{\theta}_{y}\right)\) |
Ces relations permettent d’écrire l’équation du mouvement de flexion dynamique transverse \(v(x,t)\) . On obtient l’équation aux fréquences propres après avoir associé les conditions aux limites.
L’équation aux fréquences propres s’écrit:
\(\sin({X}_{2})=0\) avec \({X}_{2}={\left[{\stackrel{ˉ}{\omega}}^{2}\frac{(1+a)}{2}+\sqrt{{\stackrel{ˉ}{\omega}}^{2}({\stackrel{ˉ}{\omega}}^{2}{(\frac{1-a}{2})}^{2}+\frac{1}{{r}^{2}})}\right]}^{1/2}\)
et
\({\overline{\omega}}^{2}=\frac{⟨\rho I⟩{\omega}^{2}{L}^{2}}{⟨EI⟩}\) ; \({\overline{r}}^{2}=\frac{⟨\rho I⟩}{⟨\rho S⟩{L}^{2}}\) ; \(a=\frac{⟨\rho S⟩⟨EI⟩}{k⟨\rho I⟩⟨GS⟩}\)
Les solutions de l’équation aux fréquences propres s’écrivent alors: \({X}_{2}=n\pi (n=1,2,3,\mathrm{...})\)
2.2. Résultats de référence#
5 premières fréquences et modes propres de flexion associés.
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\(64.476\mathrm{Hz}\) |
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\(131.918\mathrm{Hz}\) |
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\(198.734\mathrm{Hz}\) |
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\(265.383\mathrm{Hz}\) |
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\(331.963\mathrm{Hz}\) |
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2.3. Incertitudes sur la solution#
La solution de référence est calculée dans le cadre des hypothèses de la théorie des poutres [bib2]: \({\sigma}_{y}={\sigma}_{z}=0\) .
2.4. Références bibliographiques#
VPCS: Progiciel de calcul de structures composites; Exemples de validation. Revue des composites et des matériaux avancés, Volume 5 - numéro hors série/ 1995 - Edition Hermes.
CIEAUX J.M.: Flexion dynamique des poutres composites à phases orthotropes; Validité du domaine quasi-statique. Thèse de l’Université Paul Sabatier Toulouse III, 1988.