Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- Le calcul s’effectue à partir des relations d’équilibre dynamique et de comportement [:ref:`bib2 `] rappelées ci‑après: .. csv-table:: ":math:`\frac{\partial {M}_{y}}{\partial x}+{V}_{z}=⟨\rho I⟩\frac{{\partial}^{2}{\theta}_{y}}{\partial {t}^{2}}`", ":math:`\frac{\partial {V}_{z}}{\partial x}=⟨\rho S⟩\frac{{\partial}^{2}{v}_{z}}{\partial {t}^{2}}`" ":math:`{M}_{y}=⟨EI⟩\frac{\partial {\theta}_{y}}{\partial x}`", ":math:`{V}_{z}=k⟨GS⟩\left(\frac{\partial {v}_{z}}{\partial x}-{\theta}_{y}\right)`" Ces relations permettent d’écrire l’équation du mouvement de flexion dynamique transverse :math:`v(x,t)` . On obtient l’équation aux fréquences propres après avoir associé les conditions aux limites. L’équation aux fréquences propres s’écrit: :math:`\sin({X}_{2})=0` avec :math:`{X}_{2}={\left[{\stackrel{ˉ}{\omega}}^{2}\frac{(1+a)}{2}+\sqrt{{\stackrel{ˉ}{\omega}}^{2}({\stackrel{ˉ}{\omega}}^{2}{(\frac{1-a}{2})}^{2}+\frac{1}{{r}^{2}})}\right]}^{1/2}` et :math:`{\overline{\omega}}^{2}=\frac{⟨\rho I⟩{\omega}^{2}{L}^{2}}{⟨EI⟩}` ; :math:`{\overline{r}}^{2}=\frac{⟨\rho I⟩}{⟨\rho S⟩{L}^{2}}` ; :math:`a=\frac{⟨\rho S⟩⟨EI⟩}{k⟨\rho I⟩⟨GS⟩}` Les solutions de l’équation aux fréquences propres s’écrivent alors: :math:`{X}_{2}=n\pi (n=1,2,3,\mathrm{...})` Résultats de référence ---------------------- 5 premières fréquences et modes propres de flexion associés. +-----------------------+---------------------------+---------------------------------+ | |:math:`64.476\mathrm{Hz}` | | | * Fréquence mode 1: | | .. image:: images/Object_23.svg | | | | :width: 89 | | | | :height: 25 | | | | | | | | | | | | .. _RefImage_Object_23.svg: | | | | | | | | | +-----------------------+---------------------------+---------------------------------+ | |:math:`131.918\mathrm{Hz}` | | | * Fréquence mode 2: | | .. image:: images/Object_24.svg | | | | :width: 89 | | | | :height: 25 | | | | | | | | | | | | .. _RefImage_Object_24.svg: | | | | | | | | | +-----------------------+---------------------------+---------------------------------+ | |:math:`198.734\mathrm{Hz}` | | | * Fréquence mode 3: | | .. image:: images/Object_25.svg | | | | :width: 89 | | | | :height: 25 | | | | | | | | | | | | .. _RefImage_Object_25.svg: | | | | | | | | | +-----------------------+---------------------------+---------------------------------+ | |:math:`265.383\mathrm{Hz}` | | | * Fréquence mode 4: | | .. image:: images/Object_26.svg | | | | :width: 89 | | | | :height: 25 | | | | | | | | | | | | .. _RefImage_Object_26.svg: | | | | | | | | | +-----------------------+---------------------------+---------------------------------+ | |:math:`331.963\mathrm{Hz}` | | | * Fréquence mode 5: | | .. image:: images/Object_27.svg | | | | :width: 89 | | | | :height: 25 | | | | | | | | | | | | .. _RefImage_Object_27.svg: | | | | | | | | | +-----------------------+---------------------------+---------------------------------+ Incertitudes sur la solution ---------------------------- La solution de référence est calculée dans le cadre des hypothèses de la théorie des poutres [:ref:`bib2 `]: :math:`{\sigma}_{y}={\sigma}_{z}=0` . Références bibliographiques --------------------------- 1. VPCS: Progiciel de calcul de structures composites; Exemples de validation. Revue des composites et des matériaux avancés, Volume 5 - numéro hors série/ 1995 - Edition Hermes. 2. CIEAUX J.M.: Flexion dynamique des poutres composites à phases orthotropes; Validité du domaine quasi-statique. Thèse de l’Université Paul Sabatier Toulouse III, 1988.