2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Pour le calcul des coefficients ajoutés, on renvoie au cas test FDLV109.
On a fait un calcul d’amortissement ajouté à la vitesse d’écoulement (\({V}_{0}=4{\mathrm{m.s}}^{-1}\) ).
La masse ajoutée apportée par l’écoulement vaut:
\(\begin{array}{}{M}_{11}^{a}=0.625{10}^{5}\text{kg},\\ {M}_{22}^{a}=0.625{10}^{5}\text{kg},\\ {M}_{12}^{a}=0.\end{array}\)
L’amortissement ajouté vaut avec \({V}_{0}=4{\mathrm{m.s}}^{-1}\) :
\(\begin{array}{}{C}_{11}^{a}=0,\\ {C}_{22}^{a}=0,\\ {C}_{12}^{a}=0.266{10}^{5}N.{m}^{-1}.\end{array}\)
La raideur ajoutée vaut avec \({V}_{0}=4{\mathrm{m.s}}^{-1}\) :
\(\begin{array}{}{K}_{11}^{a}\text{=-}0.3943{10}^{4}N.{m}^{-1}.{\text{rad}}^{2},\\ {K}_{22}^{a}\text{=-}0.1577{10}^{5}N.{m}^{-1}.{\text{rad}}^{2},\\ {K}_{12}^{a}=0.\end{array}\)
L’intérêt du test est ici de calculer et de tester l’autospectre d’effort modal obtenu à partir d’un spectre de pression caractéristique d’écoulements turbulents établis.
Le spectre choisi ici est constant puis nul à partir d’une fréquence de coupure:
On a pour DSP de pression:
\({S}_{{p}_{}}(\omega )={K}^{2}({\mathit{\rho U}}^{2}{)}^{2}{d}^{3}\) pour \(0,1<\frac{\omega d}{\mathrm{2pU}}<10\)
La fonction de cohérence choisie dans le cas de cette plaque soumise à écoulement parallèle, est issue d’un modèle de Corcos:
\({r}^{(s)}(x-x\text{',}\omega )={e}^{-{k}_{L}(x-x')}{e}^{-{k}_{T}(y-y')}\cos(\omega (x-x')/{U}_{c}).\)
Les paramètres \({k}_{T}\) et \({k}_{L}\) sont appelés paramètres de Bakewell et valent en fonction de la pulsation:
\({k}_{L}=0.1\frac{\omega}{{U}_{c}}\) et \({k}_{T}=0.55\frac{\omega}{{U}_{c}}\)
La fonction acceptance, définie en toute généralité par
\({J}_{{{A}_{ij}}_{}}^{2}(\omega )=\underset{A}{\int}\underset{A}{\int}r(x-x\text{',}\omega ){f}_{{i}_{\alpha}}(x){f}_{{j}_{\alpha '}}(x'){n}_{\alpha}(x){n}_{\alpha '}(x')\text{dA}\text{dA}'\)
vaut dans notre cas:
\(\begin{array}{c}{J}_{{{A}_{\text{nm}}}_{}}^{2}(\omega )=\underset{A}{\int}\underset{A}{\int}{e}^{-{k}_{T}\mid y-y'\mid }{e}^{-{k}_{L}\mid x-x'\mid }\cos(\frac{\omega (x-x')}{{U}_{c}})\sin(\frac{{k}_{n}x}{L})\sin(\frac{{k}_{m}x'}{L})\text{dxdy}\text{dx}'\text{dy}'\\ =\underset{-l/2}{\overset{l/2}{\int}}\underset{-l/2}{\overset{l/2}{\int}}{e}^{-{k}_{T}\mid y-y'\mid }\text{dydy}'´\underset{0}{\overset{L}{\int}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}{e}^{-{k}_{L}\mid x-x'\mid }\cos(\frac{\omega (x-x')}{{U}_{c}})\sin(\frac{{k}_{n}x}{L})\sin(\frac{{k}_{m}x'}{L})\text{dxdx}'.\\ \end{array}\)
La première intégrale en facteur a une expression analytique et vaut:
\(\underset{-l/2}{\overset{l/2}{\int}}\underset{-l/2}{\overset{l/2}{\int}}{e}^{-{k}_{T}\mid y-y'\mid }\text{dydy}'=\frac{\mathrm{2l}}{{k}_{T}}-2(\frac{1-{e}^{-{k}_{T}l}}{{k}_{{}_{T}}^{2}}).\)
On donne dans le tableau ci après des valeurs de cette intégrale:
\(\omega (\mathrm{rad}/s)\) |
\({I}_{T}(\omega )\) |
0.01 |
24.9121 |
0.1 |
24.1414 |
18.0988 |
|
13.8102 |
|
4.2803 |
L’autre facteur est plus complexe à évaluer. On a donc calculé numériquement cette intégrale à l’aide du logiciel Maple V.5:
\(\omega (\mathrm{rad}/s)\) |
\(I(\omega )\) |
0.01 |
1006.601 |
0.1 |
815.3964 |
14.319 |
|
6.5836 |
|
1.288 |
Ainsi, pour les pulsation \(0.01\mathit{rad}/s\) et \(1\mathit{rad}/s\) , la DSP d’effort modale vaut respectivement:
\(\omega (\mathit{rad}/s)\) |
\(\mathit{DSP}(\omega )\) |
|
0.01 |
7.28848E8 |
|
7.53237E6 |
||
Pour le cas de la modélisation A |
on teste également la définition d’un spectre de turbulence à l’aide d’une fonction de la fréquence quelconque |
via le mot clé SPEC_CORR_CONV_2. La fonction choisie est : |
\({S}_{{p}_{}}(\omega )={10}^{10}{e}^{-(\omega /0.1{)}^{2}}\)
Ainsi, pour les pulsation \(0.01\mathrm{rad}/s\) et \(0,1\mathit{rad}/s\) , la DSP d’effort modale vaut respectivement:
\(\omega (\mathrm{rad}/s)\) |
\(\mathrm{DSP}(\omega )\) |
0.01 |
24,82703E13 |
0.1 |
7,24164E13 |
2.2. Résultats de référence#
Résultat analytique.
2.3. Références bibliographique#
ROUSSEAU G., LUU H.T. : Masse, amortissement et raideur ajoutés pour une structure vibrante placée dans un écoulement potentiel - Bibliographie et implantation dans le Code_Aster - HP-61/95/064.
BLEVINS R.D : Formulas for natural frequency and mode shape. Ed. Krieger 1984.
ROUSSEAU G. Spécification du calcul d’acceptance dans le Code_Aster . Réponse spectrale de structures à une excitation turbulente aléatoire HP51/97/027/A