Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- Pour le calcul des coefficients ajoutés, on renvoie au cas test FDLV109. On a fait un calcul d'amortissement ajouté à la vitesse d’écoulement (:math:`{V}_{0}=4{\mathrm{m.s}}^{-1}` ). La masse ajoutée apportée par l'écoulement vaut: :math:`\begin{array}{}{M}_{11}^{a}=0.625{10}^{5}\text{kg},\\ {M}_{22}^{a}=0.625{10}^{5}\text{kg},\\ {M}_{12}^{a}=0.\end{array}` L’amortissement ajouté vaut avec :math:`{V}_{0}=4{\mathrm{m.s}}^{-1}` : :math:`\begin{array}{}{C}_{11}^{a}=0,\\ {C}_{22}^{a}=0,\\ {C}_{12}^{a}=0.266{10}^{5}N.{m}^{-1}.\end{array}` La raideur ajoutée vaut avec :math:`{V}_{0}=4{\mathrm{m.s}}^{-1}` : :math:`\begin{array}{}{K}_{11}^{a}\text{=-}0.3943{10}^{4}N.{m}^{-1}.{\text{rad}}^{2},\\ {K}_{22}^{a}\text{=-}0.1577{10}^{5}N.{m}^{-1}.{\text{rad}}^{2},\\ {K}_{12}^{a}=0.\end{array}` L’intérêt du test est ici de calculer et de tester l’autospectre d’effort modal obtenu à partir d’un spectre de pression caractéristique d’écoulements turbulents établis. Le spectre choisi ici est constant puis nul à partir d’une fréquence de coupure: .. image:: images/10000200000006A9000005092E78E7DE07EF2274.png :width: 6.3591in :height: 4.8075in .. _RefImage_10000200000006A9000005092E78E7DE07EF2274.png: On a pour DSP de pression: :math:`{S}_{{p}_{}}(\omega )={K}^{2}({\mathit{\rho U}}^{2}{)}^{2}{d}^{3}` pour :math:`0,1<\frac{\omega d}{\mathrm{2pU}}<10` La fonction de cohérence choisie dans le cas de cette plaque soumise à écoulement parallèle, est issue d’un modèle de Corcos: :math:`{r}^{(s)}(x-x\text{',}\omega )={e}^{-{k}_{L}(x-x')}{e}^{-{k}_{T}(y-y')}\cos(\omega (x-x')/{U}_{c}).` Les paramètres :math:`{k}_{T}` et :math:`{k}_{L}` sont appelés paramètres de Bakewell et valent en fonction de la pulsation: :math:`{k}_{L}=0.1\frac{\omega}{{U}_{c}}` et :math:`{k}_{T}=0.55\frac{\omega}{{U}_{c}}` La fonction acceptance, définie en toute généralité par :math:`{J}_{{{A}_{ij}}_{}}^{2}(\omega )=\underset{A}{\int}\underset{A}{\int}r(x-x\text{',}\omega ){f}_{{i}_{\alpha}}(x){f}_{{j}_{\alpha '}}(x'){n}_{\alpha}(x){n}_{\alpha '}(x')\text{dA}\text{dA}'` vaut dans notre cas: :math:`\begin{array}{c}{J}_{{{A}_{\text{nm}}}_{}}^{2}(\omega )=\underset{A}{\int}\underset{A}{\int}{e}^{-{k}_{T}\mid y-y'\mid }{e}^{-{k}_{L}\mid x-x'\mid }\cos(\frac{\omega (x-x')}{{U}_{c}})\sin(\frac{{k}_{n}x}{L})\sin(\frac{{k}_{m}x'}{L})\text{dxdy}\text{dx}'\text{dy}'\\ =\underset{-l/2}{\overset{l/2}{\int}}\underset{-l/2}{\overset{l/2}{\int}}{e}^{-{k}_{T}\mid y-y'\mid }\text{dydy}'´\underset{0}{\overset{L}{\int}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}{e}^{-{k}_{L}\mid x-x'\mid }\cos(\frac{\omega (x-x')}{{U}_{c}})\sin(\frac{{k}_{n}x}{L})\sin(\frac{{k}_{m}x'}{L})\text{dxdx}'.\\ \end{array}` La première intégrale en facteur a une expression analytique et vaut: :math:`\underset{-l/2}{\overset{l/2}{\int}}\underset{-l/2}{\overset{l/2}{\int}}{e}^{-{k}_{T}\mid y-y'\mid }\text{dydy}'=\frac{\mathrm{2l}}{{k}_{T}}-2(\frac{1-{e}^{-{k}_{T}l}}{{k}_{{}_{T}}^{2}}).` On donne dans le tableau ci après des valeurs de cette intégrale: .. csv-table:: ":math:`\omega (\mathrm{rad}/s)`", ":math:`{I}_{T}(\omega )`" "0.01", "24.9121" "0.1", "24.1414" "1.", "18.0988" "2.", "13.8102" "10.", "4.2803" L’autre facteur est plus complexe à évaluer. On a donc calculé numériquement cette intégrale à l’aide du logiciel Maple V.5: .. csv-table:: ":math:`\omega (\mathrm{rad}/s)`", ":math:`I(\omega )`" "0.01", "1006.601" "0.1", "815.3964" "1.", "14.319" "2.", "6.5836" "10.", "1.288" Ainsi, pour les pulsation :math:`0.01\mathit{rad}/s` et :math:`1\mathit{rad}/s` , la DSP d’effort modale vaut respectivement: .. csv-table:: ":math:`\omega (\mathit{rad}/s)`", ":math:`\mathit{DSP}(\omega )`" "0.01", "7.28848E8" "1.", "7.53237E6" Pour le cas de la modélisation A, on teste également la définition d'un spectre de turbulence à l'aide d'une fonction de la fréquence quelconque, via le mot clé SPEC_CORR_CONV_2. La fonction choisie est : :math:`{S}_{{p}_{}}(\omega )={10}^{10}{e}^{-(\omega /0.1{)}^{2}}` Ainsi, pour les pulsation :math:`0.01\mathrm{rad}/s` et :math:`0,1\mathit{rad}/s` , la DSP d’effort modale vaut respectivement: .. csv-table:: ":math:`\omega (\mathrm{rad}/s)`", ":math:`\mathrm{DSP}(\omega )`" "0.01", "24,82703E13" "0.1", "7,24164E13" Résultats de référence ---------------------- Résultat analytique. Références bibliographique -------------------------- .. [bib1] ROUSSEAU G., LUU H.T. : Masse, amortissement et raideur ajoutés pour une structure vibrante placée dans un écoulement potentiel - Bibliographie et implantation dans le *Code_Aster* - HP-61/95/064. .. [bib2] BLEVINS R.D : Formulas for natural frequency and mode shape. Ed. Krieger 1984. .. [bib3] ROUSSEAU G. Spécification du calcul d’acceptance dans le *Code_Aster* . Réponse spectrale de structures à une excitation turbulente aléatoire HP51/97/027/A