2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Pour les sphères minces (\(\mathrm{i.t}\ll R\) avec \(i\) , ordre du mode), les modes propres avec déplacement radial et tangentiel établis par une théorie de membrane sont donnés par [bib1] et [bib2] :

\({f}_{i}=\frac{{\lambda}_{i}}{2\pi R}\sqrt{\frac{E}{\rho (1-{\nu}^{2})}}\)

avec \({\lambda}_{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{b\pm \sqrt{{b}^{2}-4(1-{\nu}^{2})({i}^{2}+i-2)}}\) et \(b={i}^{2}+i+1+3\nu\)

La théorie présentée par Hayek permet d’introduire une correction de l’effet de flexion (approximation de la théorie générale de Wilkinson) qui conduit à des valeurs de \({\lambda}_{i}\) fonction de

\(\begin{array}{}a={t}^{2}/12{R}^{2}\\ b=i(i+1)\end{array}\)

et solution de:

\({\lambda}_{i}^{4}-{\lambda}_{i}^{2}[1+3\nu -a(1-\nu )+b(1+a\nu +\mathrm{ab})]+\mathrm{ab}[{b}^{2}-\mathrm{4b}+5-{\nu}^{2}]+(1-{\nu}^{2})[b-2(1+a)]=0\)

2.2. Résultats de référence#

Fréquences propres :

i

Fréquences propres

2

237.25

3

282.85

4

305.24

5

324.17

6

346.76

7

376.68

8

9

465.75

10

526.20

2.3. Incertitude sur la solution#

Solution analytique.

2.4. Références bibliographiques#

  1. Fiche VPCS SDLS 07/89 dans le Guide de Validation des Progiciels de Calcul de Structures/SFM AFNOR TECHNIQUE 1990.

    1. HAYEK : « Vibrations of a spherical shell in acoustic medium », Journal of the Acoustical Society of America, Vol. 40, 2, 1996, p. 342-348